基于SPSS回归分析的锂渣混凝土抗压强度预测模型

许开成++毕丽苹++陈梦成

摘要：利用SPSS软件的逐步回归分析法、多元非线性回归法建立锂渣混凝土的强度预测模型，分析各模型的残差图、预测值与试验值的对比，并结合均方根误差、平均绝对误差、平均绝对百分比误差和模型可决系数值对各模型的精确度等进行综合评价，最终确定出较优的锂渣混凝土强度预测模型。结果表明：水胶比、锂渣掺量和减水剂掺量对锂渣混凝土强度的影响十分显著；经残差分析和95%预测值区间检验，5个建议模型都有较好的精确度；经综合评价建议最佳的锂渣混凝土强度预测模型是以水泥强度、胶水比、锂渣掺量和减水剂掺量为自变量的非线性回归方程，其相应的可决系数R2=0.920，均方根误差为3.684，平均绝对误差为3.15，平均绝对百分比误差为5.44。

关键词：SPSS；逐步回归分析法；非线性回归；锂渣混凝土；抗压强度；残差分析

中图分类号：TU528文献标志码：A

Prediction Model of Compressive Strength of Lithium Slag Concrete

Based on SPSS Regression AnalysisXU Kaicheng1，2， BI Liping1， CHEN Mengcheng1，2

（1. School of Civil Engineering and Architecture， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， Jiangxi， China；

2. Jiangxi Provincial Key Laboratory of Simulation and Control for Construction Course， East China Jiaotong

University， Nanchang 330013， Jiangxi， China）Abstract： The strength prediction model of lithium slag concrete was established by the stepwise regression method and multiple nonlinear regression analysis method in SPSS software. Then the residual plots and comparison between predicted and experimental values of the proposed models were analyzed. Combined with root mean square error， mean absolute error， mean absolute percentage error and model determination coefficient value， the accuracy of the proposed model was evaluated synthetically， and the better strength prediction model of lithium slag concrete was determined. The results show that the effects of waterbinder ratio， the amount of lithium slag and water reducing agent on the strength of lithium slag concrete are very significant. By the residual analysis and 95% predictive value interval test， the 5 proposed models have good accuracy. Based on the comprehensive evaluation， it is recommended that the best strength prediction model of lithium slag concrete is a nonlinear regression equation with the strength of cement， the binderwater ratio， the amount of lithium slag and water reducing agent as the independent variable， and its corresponding performance measurement values include that determination coefficient R2 is 0.920， root mean square error is 3.684， mean absolute error is 3.15， mean absolute percentage error is 5.44.

Key words： SPSS； stepwise regression analysis； nonlinear regression； lithium slag concrete； compressive strength； residual analysis

0引言

鋰渣是一种工业废渣，含有大量的无定形二氧化硅，与矿渣、硅灰等矿物掺和料具有相同的特点，因此锂渣混凝土引起了大量学者的关注和重视。目前锂渣混凝土的研究主要集中于混凝土基本力学性能及抗裂性能等方面，在混凝土强度预测方面研究尚少。建立混凝土强度预测模型是十分必要的，不仅可以为锂渣混凝土配合比设计提供参考，还能提前推定混凝土强度，为后期施工安排提供帮助。通常混凝土强度预测模型采用线性回归分析法，但现代混凝土的成分复杂，影响混凝土抗压强度的因素也较复杂，所以简单的线性回归分析方法不再适用于预测现代混凝土的抗压强度模型。目前，已有学者在混凝土强度预测模型方面进行了研究，如Popovics[1]提出粉煤灰混凝土强度的关系式，杨钱荣等[2]提出粉煤灰混凝土的双变量强度公式，Garcia等[3]建立三次回归模型分析粉煤灰和硅灰对混凝土早期抗压强度的影响，Hacene等[4]利用神经网络和响应曲面法建立混凝土抗压强度预测模型，Peng等[5]利用遗传运算树、非线性回归法和神经网络法建立高性能混凝土不同龄期的强度模型，王文斌[6]进行了粉煤灰的活性激发与大掺量粉煤灰混凝土的试验研究，利用SPSS统计分析软件建立了粉煤灰混凝土不同龄期的抗压强度回归方程。混凝土强度预测模型多为非线性形式，预测方法有SPSS回归分析法、神经网络预测法、遗传运算树等。神经网络预测法精确度高，但不能形成明确的方程；遗传运算树能构建出强度模型，但编程复杂；SPSS回归分析法操作简单，能建立出明确的强度模型，准确度高，能对各回归系数及整个回归方程分别进行显著性检验，能避免变量的增加对方程判定系数的影响，所以它适合建立混凝土强度预测模型。基于此，本文以现有混凝土强度模型为参考，利用SPSS逐步回归分析法和非线性回归法建立锂渣混凝土抗压强度的预测模型；模型形式为多元线性和非线性，通过对比各模型确定锂渣混凝土抗压强度的最佳预测模型。

1SPSS逐步回归分析法和非线性回归法1.1SPSS逐步回归分析法

逐步回归分析法[7]是线性回归中决定备选自变量取舍的一种回归分析方法，可以依据标准自动选取自变量，不仅可以避免遗漏某些重要的自变量，也可以避免进入某些不重要的自变量，确定出影响因变量的重要因素，更快捷地建立模型。该法要经过多次迭代才能完成，备选自变量越多，所需要的迭代步骤就会越多，必须借助统计软件才能有效完成。

1.2非线性回归法

SPSS的非线性回归有2种，一种是采用广义线性回归法建立非线性回归模型，另一种是直接输入预先确定的模型形式进行非线性回归。广义线性回归法如下：

设狭义的线性回归模型[7]为

Y=β0+β1X1+β2X2+…+βpXp+ε（1）

推广的线性回归模型为

Y=β0+β1Z1+β2Z2+…+βqZq+ε（2）

式中：Y为因变量；X1，X2，…，Xp（p≥1）均为式（1）模型的自变量；Z1，Z2，…，Zq（q≥1）均为式（2）模型的自变量；β0，β1，β2，…，βp（βq）均为自变量参数；ε为残差。

式（2）中，每自变量Z1，Z2，…，Zq都是初始自变量X1，X2，…，Xp的函数，譬如：Z1=X21，Z2=X32，Z3=lg（X3），Z4=X2X3等。这种函数关系的最简单形式为Z1=X1，Z2=X2，…，Zq=Xp，此时，推广的线性回归模型就还原为狭义的线性模型。

广义线性回归法将非线性模型线性化，该线性化模型可以直接进行线性回归分析，从而可以利用逐步回归分析方法决定应取舍的自变量，进而回归出满足要求的非线性预测模型。2建立模型

2.1試验数据

本文依据笔者课题组的锂渣混凝土课题试验研究资料，结合有关锂渣混凝土的文献资料，提取出锂渣混凝土强度和配比的有效数据。锂渣混凝土强度模型的输入变量设为水泥的强度、胶水比、水的用量、水泥用量、锂渣掺量、砂率、锂渣的细度（比表面积）、减水剂的掺量、胶水比的n次方、锂渣掺量的n次方和减水剂掺量的n次方（n=2，3，4；n值越大，回归方程拟合优度越差），输出变量设为锂渣混凝土28 d抗压强度。数据参数见表1。表1数据参数

Tab.1Parameters of Data序号水泥类型数据

个数水胶比胶水比锂渣掺

量/%锂渣比表面积/

（m2·kg-1）减水剂

掺量/%锂渣

产地混凝土28 d抗压

强度/MPa数据来源123P.O42.5，

P.O42.5RP.Ⅱ52.5，

P.O52.5R1010.25～0.531.89～4.005～70320～1 2800.00～4.00370.27～0.422.38～3.7015～60400～1 2800.47～1.50690.23～0.342.94～4.355～40320～1 5120.80～1.75新疆，

四川，

江西34.7～99.0文献[8]～[24]37.0～86.0文献[25]～[26]64.5～126.0文献[27]～[36]注：掺量为质量分数。锂渣属于一种新型矿物掺和料，目前针对锂渣混凝土的研究还较少，所以所收集到的锂渣混凝土配比数据较少，但该数据量已基本满足模型预测的要求。由表1可知，52.5级水泥类型的数据较少，其中水胶比主要在0.26左右，很大部分都小于0.3，并且锂渣掺量主要为15%和20%，掺量分布过于集中。经回归分析发现，现有52.5级水泥类型的锂渣混凝土数据无法形成准确的回归模型，所以收集的52.5级水泥类型的数据不具有代表性。因此，本文锂渣混凝土强度预测模型仅适用于使用42.5级普通硅酸盐水泥的锂渣混凝土。

表1中42.5级普通硅酸盐水泥类型的数据是建模使用的所有数据，从中随机抽选约74%（101个数据）的数据作为训练集用于回归拟合，约26%（37个）的数据作为测试集用于验证模型，检验其普适性。

2.2数据排异准则与评价模型方法

2.2.1数据排异准则

异常值是数据集中过大或过小的观测值，异常值的存在对于回归分析的结果有很大影响，所以在实际问题中首要做的就是检测数据中的异常值。异常值的检测方法[7]可以从标准化残差、学生化删除残差、高杠杆率点、库克距离这几方面同时着手，其中标准化残差或学生化删除残差的精确度高，是最基本的排异方法。各排异指标均可由SPSS直接计算得出。本文首先将表1中数据进行异常值检测，将其排除后再进行模型预测。

2.2.2评价模型方法

本文模型由SPSS软件完成，SPSS软件是利用最小平方法得到估计的回归方程。本文从3个方面评价模型的拟合优度：①通过分析各模型残差图、预测值与实际试验值的趋势对比图进行评价[3739]；②采用相对误差和预测误差的评价指标，即均方根误差ERMS、平均绝对误差EMA和平均绝对百分比误差EMAP评价模型[5，40]，而各评价指标均能很好地反映出预测模型的精确度，各值越小说明预测值与实际试验值差别越小，模型越精确；③采用可决系数R2评价模型对样本数据拟合效果的优劣。

各评价指标的计算式如下

ERMS=1nnj=1（yj-y∧j）2

EMA=1nnj=1|yj-y∧j|

EMAP=1nnj=1|yj-y∧jyj|×100%

式中：yj为抗压强度实际值（本文为锂渣混凝土28 d抗压强度实测值）；y∧j为抗压强度预测值（本文为锂渣混凝土28 d抗压强度预测值）；n为样本总量。

2.3建议模型

依据第2.1节所述自变量、因变量信息和表1数据，笔者经过不同组合建立预测模型，发现胶水比、锂渣掺量和减水剂掺量对锂渣混凝土强度的影响显著，故经过多次对比，初步确定以下模型类型。

模型1：y=a0+a1BW+a2ωli+a3ωj

模型2：y=b0+b1BW+b2ω2li+b3ωj

模型3：y=c0+c1（BW）2+c2ωli+c3ωj

模型4：y=d0+d1（BW）2+d2ω2li+d3ωj

模型5：y=afb（BW+b）+cωli+dωj+e

式中：y为锂渣混凝土28 d抗压强度预测值；BW为胶水比；ωli为锂渣掺量；ωj为减水剂掺量；fb为水泥28 d抗压强度；ai，bi，ci，di（i=0，1，2，3）和a，b，c，d，e均为模型变量参数，其值为常数。3结果与分析

3.1各模型结果与分析

3.1.1模型1结果

经SPSS统计软件回归，模型1的数学表达式如下

y=7.643+19.648BW-0.432ωli+5.251ωj

R2=0.907（3）

图1为锂渣混凝土28 d抗压强度预测模型1的残差图。观察残差图发现，残差随机地散落在0值周围，未呈现出某种规律或变化趋势等现象。可见，模型1是可用于预测混凝土抗压强度的。此外，经分析测试集的残差分布，得到预测值的相对误差最高约为15%，在可接受范围内。

图1模型1残差图

Fig.1Residual Plots of Model 1利用模型1方程分别对训练集和测试集的数据进行拟合，将得到的各数据集抗压强度预测值与相应的试验值进行对比，训练集和测试集的抗压强度预测值与试验值散点图如图2所示。由图2可知，不论训练集还是测试集，数据均分布在一条斜直线附近，直线的斜率约接近于1，即预测值能较准确地估计试验值。

图2模型1抗壓强度预测值与试验值散点图

Fig.2Scatter Plots of Predictive Values and

Experimental Values of Model 1图3为模型1的训练集抗压强度预测值与试验值对比；图4为模型1的测试集抗压强度预测值与试验值对比。图3，4的虚线均为95%预测值区间的上下限，即期望的实际响应范围。图3中，拟合曲线的斜率为1，可决系数较大，R2=0.909；图4中，拟合曲线的斜率非常接近于1，斜率K=1.0088，且方程的可决系数也较大，R2=0.850；此外，图3模型1的训练集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.3Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Training Set of Model 1图4模型1的测试集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.4Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Test Set of Model 1图3，4中大多数的点聚集在拟合曲线附近，落在95%预测值区间内。可见，模型1的精确度高。

3.1.2模型2结果

模型2的数学表达式如下

y=-1.249+20.33BW-0.006ω2li+

5.148ωj

R2=0.901（4）

图5为模型2的残差图。同模型1残差图一样，残差随机聚集在0值周围；观察发现，训练集和测试集有类似的特点。经测试集的残差分析，预测值的相对误差最大约15%，在可接受范围内。因此，模型2可用于预测混凝土抗压强度。

图5模型2残差图

Fig.5Residual Plots of Model 2 模型2的抗压强度预测值与试验值关系如图6～8所示。图6散点图趋势与模型1散点图相似，斜直线趋势明显。图7为模型2的训练集抗压强度预测值与试验值对比，其中拟合曲线的斜率为0.988 3，R2=0.903，并且所有数据都落在95%图6模型2抗压强度预测值与试验值散点图

Fig.6Scatter Plots of Predictive Values and

Experimental Values of Model 2图7模型2的训练集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.7Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Training Set of Model 2图8模型2的测试集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.8Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Test Set of Model 2预测值区间；图8为模型2的测试集抗压强度预测值与试验值对比，其中拟合曲线的斜率为0.962 5，R2=0.838，同时所有数据都落在95%预测值区间。可见，模型2的精确度也较高。

3.1.3模型3结果

模型3的数学表达式如下

y=36.348+3.099（BW）2-0.410ωli+

5.518ωj

R2=0.884（5）

图9为模型3的残差图。由图9可知，所有数图9模型3残差图

Fig.9Residual Plots of Model 3据的残差值均随机地散落在0值周围，但该模型残差分布程度比模型1，2稀疏。可见，虽然模型3能用于预测混凝土强度，但精度低于模型1，2。经分析测试集的残差分布，发现测试集预测值的相对误差都小于15%。

模型3抗压强度预测值与试验值散点图如图10所示。与模型1，2相同，不论是训练集还是测试集，模型3的抗压强度预测值与试验值均呈线性关系。图11为模型3的训练集抗压强度预测值与试验值对比。经拟合发现，两者线性关系较好，所有数据都落在95%预测值区间，证明模型具有较好的精确度，但模型3的可决系数R2=0.887却明显低于模型1，2的R2值，所以模型3的拟合优度低于模型1，2。图12为模型3的测试集抗压强度预测值与试验值对比，该模型预测值与试验值也呈线图10模型3抗压强度预测值与试验值散点图

Fig.10Scatter Plots of Predictive Values and

Experimental Values of Model 3图11模型3的训练集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.11Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Training Set of Model 3图12模型3的测试集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.12Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Test Set of Model 3性关系，可决系数R2=0.849，略大于模型2的R2值，但与模型1的R2值相当。因为训练集和测试集的数据都是相互独立且随机分配，所以训练集结果与测试集结果會有所差异。

3.1.4模型4结果

模型4的数学表达式如下

y=27.818+3.431（BW）2-0.006ω2li+5.173ωj

R2=0.895（6）

图13为模型4的残差图。模型4的残差图与模型3残差图相似，残差值随机地散落在0值周围，残差绝对值小于10，但残差分布较为稀疏。可见，模型4的精度低于模型1，2，与模型3相当。经分析测试集残差分布，发现测试集预测值的相对误图13模型4残差图

Fig.13Residual Plots of Model 4 差也小于15%。

模型4的抗压强度预测值与试验值关系见图14～16。图14为模型4的抗压强度试验值与预测值散点图，其与模型1～3的散点图规律相同，说明模型4能较好地预测试验值。图15，16分别为模型4训练集和测试集的抗压强度预测值与试验值对比。图15中，拟合曲线的斜率为0.985 7，可决系数R2=0.896；图16中，拟合曲线的斜率为0.942 7，R2=0.841。可见，模型4的拟合优度有所降低，不仅预测值与试验值的拟合曲线斜率小于1，R2值也明显降低。因此，模型4的精度要低于模型1～3。

图14模型4抗压强度预测值与试验值散点图

Fig.14Scatter Plots of Predictive Values and

Experimental Values of Model 4图15模型4的训练集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.15Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Training Set of Model 4图16模型4的测试集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.16Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Test Set of Model 43.1.5模型5结果

模型5的数学表达式如下

y=0.419fb（BW-1.032）-0.445ωli+

4.205ωj+26.548）

R2=0.920（7）

图17为模型5的残差图。残差值随机分布在0值周围，且分布程度较为密集，残差值较小；残差绝对值中只有1个值接近于10，其余均小于8，并且模型5的相对残差值最高约为15%。因此，模型5可用于预测锂渣混凝土强度，并且模型5的精度较高。

图17模型5残差图

Fig.17Residual Plots of Model 5 模型5的抗压强度预测值与试验值关系见图18～20。图18为模型5抗压强度预测值与试验值散点图，由图18可知，预测值与试验值呈现出线性增长趋势，与模型1～4的散点图规律相同，说明模型5能较好地预测试验值。图19，20分别为模型5的训练集和测试集抗压强度预测值与试验值对比。由图19，20可知，数据均落在95%预测值区间内，预测值与试验值的拟合曲线斜率几乎等于1，截距接近于0，并且拟合方程的可决系数R2均大于图18模型5抗压强度预测值与试验值散点图

Fig.18Scatter Plots of Predictive Values and

Experimental Values of Model 5图19模型5的训练集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.19Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Training Set of Model 5图20模型5的测试集抗压强度预测值与试验值对比

Fig.20Comparison Between Predictive Values and

Experimental Values of Compressive Strengths in

Test Set of Model 50.9。因此，模型5的精度高，并优于其他模型。

3.2各模型比较

由模型1～5的残差图可知，残差均随机分布在0值周围，说明各模型可以较好地预测试验值。同时，由模型1～5的训练集和测试集预测值与试验值关系可知，各模型随试验数据的变化趋势基本相同，没有存在系统性的离散。因此，模型1～5都可以预测锂渣混凝土抗压强度，但各模型的精确度有所差异。

为了选出较优模型，本文主要使用3种性能测量指标比较模型1～5。3种性能评价指标为均方根误差、平均绝对误差和平均绝对百分比误差。各模型的性能评价结果具体见表2。

表2各模型的评价结果

Tab.2Evaluation Results of Models模型

编号R2训练集测试集ERMS/

MPaEMA/

MPaEMAP/

%ERMS/

MPaEMA/

MPaEMAP/

%10.9074.2683.476.154.6663.926.7920.9014.4753.616.634.9744.197.2430.8844.7133.956.904.7354.036.8040.8954.6283.817.035.0094.197.1850.9204.1083.376.063.6843.155.44基于表2的结果，本文得到：

（1）对于可决系数R2值，模型1，2，5的R2值较大，其中模型5的R2值最大，为0.920。

（2）对于ERMS指标值，依据训练集结果，模型1，2，5较好，其中模型5优于模型1，模型1优于模型2；依据测试集结果，模型1，3，5较好，其中模型5优于模型1，而模型1优于模型3；综合来看，模型5的ERMS值相对最小，模型1次之。

（3）对于EMA指标值，依据训练集结果，模型1，2，5较好，其中模型5优于模型1，模型1优于模型2；依据测试集结果，模型1，3，5较好，其中模型5优于模型1，模型1优于模型3；综合评价，模型5的EMA值相对最小，模型1次之。

（4）对于EMAP指标值，依据训练集结果，模型1，2，5较好，其中模型5优于模型1，模型1优于模型2；依据测试集结果，模型1，3，5较好，其中模型5优于模型1，模型1优于模型3；综合评价，模型5的EMAP值相对最小，模型1次之。

综上所述，作为锂渣混凝土28 d抗压强度预测模型，模型5较优，模型1次之。以上建议模型中，虽然没有包含粗骨料、细骨料、锂渣细度等因素，但是这并不意味着它们对锂渣混凝土强度没有影响，只是因为它们对锂渣混凝土强度的影响不太显著，贡献很小，所以没有出现在强度模型中。4结语

（1）水胶比、锂渣掺量和减水剂掺量对锂渣混凝土强度的影响十分显著。

（2）模型评价中，各建议模型的残差值均随机散落在0值周围，预测值的最高相对误差约为15%，预测值数据均落在95%预测值区间，说明各建议模型均有较好的精确度。

（3）各建议模型经均方根误差、平均绝对误差和平均绝对百分比误差以及模型R2值等指标的综合评价后，发现模型5的各项指标值相对最小，为最佳的预测模型。

（4）本文建立的锂渣混凝土抗压强度非线性预测模型存在一定的局限，其有效性还有待更多试验数据检验，且适用52.5级普通硅酸盐水泥型号的锂渣混凝土强度模型也有待建立，这将是进一步研究的方向。参考文献：

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