阿罗不可能性定理和社会选择的无矛盾性问题

胡毓达

上海交通大学数学科学学院，上海 200240

阿罗不可能性定理和社会选择的无矛盾性问题

胡毓达†

上海交通大学数学科学学院，上海 200240

2017年2月21日，国际著名数理经济学家、1972年度诺贝尔(Nobel)经济学奖获得者阿罗(K. J. Arrow）于美国辞世。谨作此文，以纪念他在社会选择理论, 特别是其中将有关数学应用于研究经济学领域发现的“阿罗不可能性定理”作出的重大贡献。

社会选择；阿罗不可能性定理；社会福利函数；社会决定函数；社会满意函数

20世纪50年代初，阿罗在他的力作《社会选择与个人价值》(Social Choice and Individual Values)中[1]，创建了后来以他的名字命名的“阿罗不可能性定理”。对于这一重大的学术成就，在西方曾有学者评论：“如果说1846年亚当斯(J. C.Adams, 1819—1892）和勒威耶(U. Le Verrier, 1811—1877）用数学方法发现海王星是数学在自然科学中的伟大胜利的话，那么1951年阿罗用数学推理发现的‘不可能性定理’则是数学在社会科学研究上的伟大胜利！”

本文介绍阿罗的治学历程和他最重要的学术成果——在社会选择理论研究中发现的“不可能性定理”及其意义。为了让读者对社会选择的无矛盾性问题有较全面的了解，笔者同时简述了这一领域的主要后续研究成果。

1 阿罗的生平和成就

肯尼斯•约瑟夫•阿罗(Kenneth Joseph Arrow)1921年8月23日出生于美国纽约市。他是罗马尼亚裔犹太人，他的家庭非常重视教育。1940年他19岁在纽约城市学院完成大学本科学业，并获得社会科学理学学士学位。由于在学校时主修了数学专业，这对他后来在数理经济学方面的成就起到了至关重要的作用。1941年6月，他进入哥伦比亚大学攻读研究生。在统计学和经济学家哈罗德•霍特林(Harold Hotelling)教授的影响下，他选择了经济学系。

1947年阿罗26岁时与塞尔玛(S. Selma)结婚，他们生有两个儿子。自1948年起，他开始了社会选择理论的研究。1951年，阿罗出版了在他的博士学位论文基础上完成的重要著作《社会选择与个人价值》。在该书的扉页上，题有“献给我的妻子——塞尔玛”，可见夫妻关系甚笃。塞尔玛于2015年逝世。

1948年夏天以后，阿罗向考尔斯委员会告假去做兰德(RAND)公司的研究顾问。在兰德公司“令人振奋”的日子里，阿罗专注于当时新兴的博弈论和数学规划钻研。以后，他的主要工作是研究社会选择理论和帕莱托(Pareto)效率问题。1949年，阿罗被聘为斯坦福大学经济学和统计学助理教授，1968年成为经济学、统计学和运筹学教授。1956—1957年，他在美国经济顾问委员会研究中心任研究员，1962年担任斯坦福大学经济学系主任，并且是美国总统经济顾问委员会成员。1963—1964年任丘吉尔学院(剑桥)研究员，1970年任客座教授，1968年被聘为哈佛大学经济学教授。

阿罗是二战后新福利经济学理论研究的中心人物。1957年，阿罗获美国经济学协会的约翰•贝茨•克拉克(John Bates Clark)奖章。由于在《社会选择与个人价值》著作中对社会选择理论作出的贡献(特别是其中发现的“阿罗不可能性定理”)，以及在一般均衡理论(主要是阿罗-德布鲁(Arrow-Debreu)存在性定理，1954年)方面的工作，使他与希克斯(J. R. Hicks)一起分享了1972年度诺贝尔经济学奖。1986年，他获得管理科学与运筹学的冯•诺依曼(von Neumann)奖。2004年，基于在不完全信息和对方位风险决策问题研究上的成就，他获得了美国国家最高科学荣誉的国家科学奖章。值得一提的是，他有5名学生也先后成为诺贝尔奖获得者。

1956年，阿罗担任美国计量经济学会会长。1959年，当选为美国艺术和科学院院士。同年，还被选为美国国家科学院和美国哲学学会会员以及计量经济学会、数理统计学会和美国统计协会的特别会员。1963年，阿罗任美国管理科学协会理事长。1967年和1972年分别被芝加哥大学和纽约城市大学授予荣誉学位，1971年被维也纳大学授予社会学和经济学荣誉博士学位。1972年，他当选为美国经济学会会长以及国际经济协会主席。1995年则被瑞典乌普萨拉大学社会科学学院授予名誉博士学位。2006年，他被选为英国皇家学会外籍会员。

阿罗的主要贡献是创建了福利经济学中社会选择理论的基本定理、一般均衡理论和内生增长理论。此外，他的研究还涉及许多其他经济学领域的基础工作，如风险承担理论、一般竞争性分析、信息不对称经济学、多准则决策、市场创新效率、收益递增与经济分析、种族歧视经济学，以及医疗保健和医疗保险市场和抗疟药物经济学等。

自1968年起，阿罗一直在哈佛大学任职至1979年。之后，他回到斯坦福大学担任经济学的琼•肯尼(Joan Kenney）名誉教职和运筹学教授，直至1991年退休。

2017年2月21日，阿罗病逝于美国加利福尼亚的帕罗奥图市，享年95岁。

下午，中国焊接协会召开了七届四次理事会七届七次常务理事（扩大）会，李连胜秘书长做了2018年工作报告。中国焊接协会各分支机构述职。李秘书长对每个分支机构述职都进行了总结、点评，并提出希望和要求。全体常务理事、理事鼓掌通过了张华副秘书长的“中国焊接协会2018年财年报告”以及吴九澎副秘书长的“关于调整中国焊接协会常务理事、理事的提案”报告。

2 阿罗不可能性定理

社会选择理论是现代决策科学和福利经济学的一个重要交叉研究领域。它研究由多个“个人(个体)”组成的“社会(群体)”，对有关社会和经济中重大复杂的“(供选）方案”选择作出有效和科学抉择的问题。其中，“社会”可以是某类型的社会组织、投资-消费者群、议会(选民们）、社团职工代表或顾客群等，“方案”则对应供选择的社会状态(如市场机制、议案(侯选人）、福利分配方案或商品类等）。在决策科学中，社会选择则称为群体决策(也称集体决策或团体决策)。

第二次世界大战以后，在国际上提倡发展市场经济和民主政治大潮流的推动下，有关福利经济学的研究受到经济学界的重视。其间，以阿罗等为代表的年轻一代的数理经济学研究者，认为以往古典福利经济学中采用“基数型”的“效用值”来表示(可供选择)方案的好坏，具有人为的随意性和不精准性。同时，其中常以个体关于方案的效用之和(而不是其他形式的如“之积”或“对数和”等) 作为效用函数，来表示社会关于方案的效用也并无充分的理论依据。由此他们认为在“基数型”效用理论研究中，由人为给定的人际间的效用并不具有可比性。鉴于此，他们主张直接采用人们对方案之间的“偏好(关系)”，来刻画它们之间的优劣，从而开创了“序数型”新福利经济学的社会选择理论研究。

不同于“基数型”社会选择理论中使用效用值来表示不同方案的好坏，在“序数型”社会选择研究中，所谓“偏好(关系)”即指“至少一样优(关系)”。具体地说，设x和y是方案集X中的两个方案，若“x至少一样优于y”则称“x偏好于y”；相应地若“x优于y”则称“x严格偏好于y”以及称“x与y一样优”为“x淡漠于y”。显然，“偏好”即“严格偏好或淡漠”。另外，设X是至少包含3个方案的集合，如果在X上的偏好满足以下3个条件：①对于X中任何方案x，有“x偏好于x”(自反性)；②对于X中任何3个方案x、y和z，若x偏好于y且y偏好于z，则x偏好于z(传递性)；③对于X中任何两个方案x和y，总有x偏好于y或者y偏好于x(完全性)，则称此偏好是该方案集X上的偏好序。

关于“序数型”群体决策问题，早在18世纪下半叶，法国科学院院士、哲学家兼数学家孔多塞(M. J. A. N. Condorcet)就曾指出：使用多数(少数服从多数)规则，对不少于3个方案的情况作决策时会出现循环排序的矛盾现象[2]。一个典型的例子：在群体中有三名个体A、B和C，以及方案集X中包含有3个方案x、y和z的情况。事实上，因为若A对方案的偏好选择是“x严格偏好于y”和“y严格偏好于z”，B的选择是“y严格偏好于z”和“z严格偏好于x”，而C的选择是“z严格偏好于x”和“x严格偏好于y” ，那么由于有两人(多数)认为“x严格偏好于y”，两人认为“y严格偏好于z”和两人认为“z严格偏好于x”，于是该群体使用多数规则的结果将是“x严格偏好于y严格偏好于z严格偏好于x”，导致循环排序的结果。

为了探索在社会选择中，除了多数规则之外是否还存在有其他合理(无矛盾)的社会选择规则，阿罗在参考文献[1]中引进了如下的“社会福利函数”的概念：设X是包含至少2个方案的集合，G是不少于3名个体组成的社会，则称由G中所有个体对X中两方案之间的“偏好序”汇集成社会G对X中两方案之间的“偏好”的规则，是G在X上的社会福利函数。同时，给出了理性的社会福利函数应满足如下2个公理和5个条件：

公理I：社会偏好在X上具有完全性。

公理II：社会偏好在X上具有传递性。

条件1(容许性)：设G中所有个体对X中两两方案之间作任意的偏好选取，由它们汇集成的社会偏好应满足公理I和公理II。

条件2(正相关性)：对于X中的两方案x和y，设由G中的个体偏好汇集成社会偏好使“x严格偏好于y”。若在重新选择个体偏好时，x与其他方案之间的偏好比原来的“加强(更偏好)了”，而其他方案之间的个体偏好关系保持不变，则由新的个体偏好汇集成的社会偏好也将使“x严格偏好于y”。

条件3(无关方案独立性)：如果在X中排除掉一些方案。若各个体对留下的方案之间的偏好保持不变，那么由个体偏好汇集成社会偏好对留下方案之间的偏好也应该保持不变。

条件4(非强加性)：设x和y是X中的两个方案，则不会有对不论任何一组个体偏好汇集成的社会偏好，使得总有“x偏好于y”。

条件5(非独裁性)：在G中不存在这样的个体(独裁者），对于X中任意两个方案x和y，只要该个体认为“x严格偏好于y”，则不论其他个体如何选择x和y之间的偏好，由它们汇集成的社会偏好就确定“x严格偏好于y”。

基于以上对社会福利函数应满足的一组理性条件，阿罗证明了以下两个定理。

基本定理1(两方案的可能性定理)：如果X中仅只有两个方案，那么多数规则是一个满足条件1至条件5的社会福利函数。

基本定理2(不可能性定理)：如果在X中有不少于3个方案，那么任何一个满足条件1至条件3的社会福利函数，一定不满足条件4或者不满足条件5。

基于以上两个定理，在参考文献[1]中阿罗认为，“从某种意义上说，基本定理1是英美两党制的逻辑基础”。

阿罗得到的上述不可能性定理断言：当方案的个数不少于3时，设若要求社会福利函数满足一组十分适度和合理的条件1～5，都会导致矛盾。这也即表明“任何”一个理性的社会选择规则都是不存在的！由于这一结果大大地出于人们的直觉和意料，从而在学术界一度引起了巨大的反响和争议。其间，一些学者曾对此定理的证明和所设的有关条件(特别是其中的条件3)提出了质疑。同时，由于阿罗对基本定理2的原证明中有些推导是描述性的。因此，更使人对其正确性产生了怀疑。但是，经过一个时期广泛和充分的研讨，人们终于统一认识到阿罗所得到的不可能性定理的结论是正确的。1963年，在参考文献[1]的第二版中阿罗吸取和总结了各方面的有益意见，修正了原来所提的条件3，删除了其中不必要求的条件2，并对条件4换成等价的条件P，对不可能性定理给出了补正。后来，一些学者先后还对阿罗的不可能性定理给出不同形式的证明。例如：在参考文献[3]和参考文献[4]中就各提供了另外一个证明；参考文献[5]中更提出了3种不同的证明方法；在参考文献[6]中，则给出了详细的数学证明。

3 关于社会选择的无矛盾性问题

自从阿罗的不可能性定理发表之后，关于社会选择规则的无矛盾性问题，成为新福利经济学中一个热门的研究课题。为了使一个社会选择规则能够合理地在实际选择问题中得到应用，处置的方法之一是：考虑对具体的社会选择规则加上相应的限制条件，以使带限制的社会选择规则在使用中是无矛盾的。其中一项重要的成果，就是由布莱克(D. Black）提出的对最常用的多数规则加上所谓的“单峰条件”[7]。它使加上这一条件之后的多数规则不再具有逻辑上的矛盾，从而使这一规则在处理实际问题中得到了广泛的应用。

排除社会选择规则存在矛盾的另一个途径，是放宽对阿罗的社会福利函数的要求。在参考文献[8]中，阿马蒂亚•森(Amartya K.Sen)将阿罗定义的“社会福利函数”(要求社会偏好是偏好序，即要求它满足自反性、完全性和传递性)，放宽为“社会决定函数”(只要求社会偏好是拟偏好序，即满足自反性、完全性和拟传递性)。于是，他得到了关于社会决定函数可以满足一组理性条件的“拟传递可能性定理”。森在社会选择理研究中的这些成果，连同他在经济分配不平等和饥荒成因方面的贡献，也获得了1998年度诺贝尔经济学奖。

需要指出的是，阿罗的社会福利函数要求它具有社会偏好序，可以对方案集中的所有方案作出偏好排序。森的社会决定函数只要求它具有社会拟偏好序，则只能得到偏好于其他任何方案的“最优偏好方案”，而不能对所有方案作出整体偏好排序。

此外，为了探究社会选择规则的无矛盾性问题，在参考文献[9]中则提出了既不同于“基数型”也区别于“序数型”的“满意型”社会选择(群体决策)模式研究。其特点是，既不采用“效用值”来表示方案的好坏，也不用两两方案之间的“偏好”来比较它们之间的优劣，而是按照人们对方案作出评判的“满意指标”来表达对方案是否“满意”的选择。对此，在参考文献[9]中引进了如下的“社会满意函数”的概念：设X是包含至少两个方案的集合，G是不少于3名个体组成的社会，则称由G中所有个体对X中方案的“满意指标”汇集成社会G对X中方案的“满意指标”的规则，是G在X上的社会满意函数。同时，证明了该社会满意函数满足一组类似于参考文献[1]中对社会福利函数要求的理性条件的“满意可能性定理”。

可见，阿罗的不可能性定理，仅仅是基于“序数型”社会选择对方案作两两比较所得到的结果。然而，在“满意型”社会选择研究中，所得到的满意可能性定理表明：在满意选择的意义下，无矛盾的社会选择规则还是存在的。因此，与阿罗的观点相对应，我们可以说参考文献[9]中的“‘满意可能性定理’，是目前多数国家采用多党制的逻辑基础。”

在“序数型”社会选择理论研究中，阿罗不可能性定理的重要意义在于对任何形式的具体的社会选择规则，不用检验也就知道它是存在矛盾(即不可能对所有方案作出社会偏好排序）的！这无疑是社会选择理论研究中的一个重大发现。同时，也确实是数学应用于社会科学的一个杰出而伟大的胜利！

(2017年10月15日收稿)

[1] ARROW K J. Social choice and individual values [M]. New York: John Wiley & Sons, 1951.

[2] CONDORCET M J A N Caritat, Marquis de.Essai sur l‘application de l‘analyse a la probability des decisions rendues a la pluralite des voix [M]. Paris: L‘Imprimerie Royale,1785.

[3] BLAU J H. A direct proof of Arrow’s thorem[J]. Econometrica, 1972, 40: 62-67.

[4] BERBERA S. Pivocal vocers, a new proof of Arrow’s thorem [J]. Economies Letters, 1986,6: 13-16.

[5] GEANAKOPLOS J. Three brief proofs of Arrow’s impossibility thorem [G].Cowles Foundation Discussion Paper No.1123RRR, Cowles Foudation for Resesearch in Economics Yale University, New Haven, 2001.

[6] 胡毓达, 胡的的. 群体决策——多数规则与投票悖论[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 2006.

[7] BLACK D. The theory of committee elections [M] . Cambrige：Cambrige University Press, 1958.

[8] 阿马蒂亚•森. 集体选择与社会福利[M]. 胡的的, 胡毓达, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2004.

[9] 胡毓达, 洪振杰. 群体决策的多数满意规则及其性质[J] . 高等数学研究,2013, 16(4): 1-4.

Arrow’s impossibility theorem and the problem of non-contradictory social choice

HU Yuda
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China

Absract This paper is written in remembrance of K. J. Arrow, Nobel Laureate in Economics of 1972, who died on the 21st of February, 2017 for his important contribution to the theory of social choice, particularly his eponymous impossibility theorem.

social choice, Arrow’s impossibility theorem, social welfare function, social decision function, social satisfaction function

10.3969/j.issn.0253-9608.2017.06.010

†通信作者，E-mail: yuda-hu@163.com

(编辑：温文)