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谈谈向量数量积的求法

2017-01-19徐学海

考试周刊 2017年2期
关键词:三角形

徐学海

摘 要: 向量问题是高考数学的一大热点问题,尤其对数量积的考查,俨然成为一种趋势.近些年,江苏高考侧重于考查以三角形为背景的向量数量积.广大考生在求此类问题时由于受选取方法的影响,有时不能很快解决此类问题.为此本文将对以三角形为背景的向量数量积的求法做一些简单概括.

关键词: 数量积 三角形 选取方法

例:在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3,点F为DE 中点,则·的值为

解法一(定义法):在△ADE中,∠A=60°,AD=AE=2,则DE=2.∵F为DE中点.∴DF=1,BD=2.BF=BD+DF-2BD·DF·cos120°=7.BF=.

cos∠DFB===.

·=||·||·cos∠DFB=×2×=4.

针对此题,定义法显得有点复杂,这两个向量的模长并不是题干条件直接给出的,需要我们通过一定计算求解.并且在求解夹角的余弦时运用到了余弦定理.总体分析,此题利用定义法可以求解,只是求此数量积时可能有更好的方法,需要我们探究.

通过对题干条件的分析,不难发现题目所求两个向量的数量积借助于基底法可很快求解,具体解法如下:

解法二(基底法):结合题意,以,为一组基底进行转化.

上述利用基底法求解向量数量积,思路明确,简单易操作,为解题节省了时间.再仔细分析,可知该题以三角形为背景的模型清晰可见,两条边长及夹角的信息明确,试着建立直角坐标系,将向量的数量积用坐标形式表现出来,且该题涉及的几个点的坐标可轻松得出.具体解法如下(结合下图):

解法三(坐标法):过B作BO⊥AC于O,通过计算,不难发现,O与E重合.如上图所示.

上述三种方法都可顺利求解本题答案,但就本题而言,可能很多同学最先想到的是方法二(基底法),的确为我们解题带来了方便.但在求解向量数量积时,三种方法都要掌握,什么题型用什么方法,一定要多思考.下面就选取方法谈一点想法.

在求解以三角形为背景的向量数量积时,方法的选取显得特别重要,有时方法选取得适当,可能会使解决此类问题的速度大大加快,为后面试题解决节省时间,一般情况下:

(1)在边长及夹角余弦较易求解的情况下选择定义法(·=||·||cosθ,θ指与的夹角).

(2)在定义法无法解决或不易解决及无法建系时,此时题干给的基底情况足够明确,则选取基底法.

(3)题干背景给的是诸如等边三角形、圆、正方形、长方形等对称图形时,可选取坐标法解决.但提醒考生注意的是坐标务必书写正确,否则直接导致答案错误.

参考文献:

[1]魏群,等.中国中学数学教学课程教材演变史料.北京:人民教育出版社,1996.

[2]张奠宙,等.数学教育学.南昌:江西教育出版社,1991.

[3]严士健.面向21世纪的中国数学教育.南京:江苏教育出版社,1994.

[4]傅海伦.数学教育发展概论.北京:科学出版社,2001.

[5]李求来,等.中学数学教学论.长沙:湖南师范大学出版社,1992.

[6]章士藻.中学数学教育学.南京:江苏教育出版社,1996.

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