谈谈向量数量积的求法

徐学海

摘 要： 向量问题是高考数学的一大热点问题，尤其对数量积的考查，俨然成为一种趋势.近些年，江苏高考侧重于考查以三角形为背景的向量数量积.广大考生在求此类问题时由于受选取方法的影响，有时不能很快解决此类问题.为此本文将对以三角形为背景的向量数量积的求法做一些简单概括.

关键词： 数量积 三角形 选取方法

例：在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE 中点，则·的值为

解法一（定义法）：在△ADE中，∠A=60°，AD=AE=2，则DE=2.∵F为DE中点.∴DF=1，BD=2.BF=BD+DF-2BD·DF·cos120°=7.BF=.

cos∠DFB===.

·=||·||·cos∠DFB=×2×=4.

针对此题，定义法显得有点复杂，这两个向量的模长并不是题干条件直接给出的，需要我们通过一定计算求解.并且在求解夹角的余弦时运用到了余弦定理.总体分析，此题利用定义法可以求解，只是求此数量积时可能有更好的方法，需要我们探究.

通过对题干条件的分析，不难发现题目所求两个向量的数量积借助于基底法可很快求解，具体解法如下：

解法二（基底法）：结合题意，以，为一组基底进行转化.

上述利用基底法求解向量数量积，思路明确，简单易操作，为解题节省了时间.再仔细分析，可知该题以三角形为背景的模型清晰可见，两条边长及夹角的信息明确，试着建立直角坐标系，将向量的数量积用坐标形式表现出来，且该题涉及的几个点的坐标可轻松得出.具体解法如下（结合下图）：

解法三（坐标法）：过B作BO⊥AC于O，通过计算，不难发现，O与E重合.如上图所示.

上述三种方法都可顺利求解本题答案，但就本题而言，可能很多同学最先想到的是方法二（基底法），的确为我们解题带来了方便.但在求解向量数量积时，三种方法都要掌握，什么题型用什么方法，一定要多思考.下面就选取方法谈一点想法.

在求解以三角形为背景的向量数量积时，方法的选取显得特别重要，有时方法选取得适当，可能会使解决此类问题的速度大大加快，为后面试题解决节省时间，一般情况下：

（1）在边长及夹角余弦较易求解的情况下选择定义法（·=||·||cosθ，θ指与的夹角）.

（2）在定义法无法解决或不易解决及无法建系时，此时题干给的基底情况足够明确，则选取基底法.

（3）题干背景给的是诸如等边三角形、圆、正方形、长方形等对称图形时，可选取坐标法解决.但提醒考生注意的是坐标务必书写正确，否则直接导致答案错误.

参考文献：

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