预防接种情况下潜伏期和染病期均具有传染力的SEIR传染病模型的全局分析

郭金生，梅凤娟

(1.河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000；2.定西市岷县锁龙九年制学校，甘肃 岷县 748400)

预防接种情况下潜伏期和染病期均具有传染力的SEIR传染病模型的全局分析

郭金生1*，梅凤娟2

(1.河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000；2.定西市岷县锁龙九年制学校，甘肃 岷县 748400)

讨论了一类在连续预防接种情况下具有垂直传染的潜伏期和染病期均有传染力的SEIR传染病模型，通过计算得到了基本再生数R0。当R0<1时，仅存在无病平衡点且全局渐近稳定;当R0>1时，除存在不稳定的无病平衡点外，还存在唯一的正地方病平衡点且全局渐近稳定。

传染病模型;基本再生数;垂直传染;预防接种

有些疾病可以通过母体传给下一代，这种传染形式成为垂直传染。文献[1-5]讨论的都是具有垂直传染的传染病模型。本文讨论了一类在连续预防接种情况下具有垂直传染的潜伏期和染病期均具有传染力的SEIR传染病模型，得到了决定疾病灭绝和持续生存的阈值R0，完整地研究了模型在平衡点的稳定性态。

1 模型的建立

设总人口N分为易感者S，潜伏者E，染病者I和移出者R四部分，并且假设:

(1)易感者类具有有效接种率p，且接种后具有永久免疫力;

(4)潜伏者类和易感者类具有相同的垂直传染率a，用b，d分别表示自然出生和自然死亡率，不考虑因病死亡率。

由以上假设可建立如下SEIR传染病动力学模型

(1)

(2)

因为s+e+i+r=1，故只需考虑系统(2)的前三个方程

(3)

即可。

令b+μ-ab=δ，b+μ-ab=w。则(3)式可化简成

(4)

故系统(4)的可行性区域为

且区域D是系统(4)的正向不变集，下面将讨论模型(4)在区域D上的动力学行为。

2 基本再生数

令x=(e，i，s)T，则模型(4)可写成x′=F-G，其中

取

则再生矩阵F1G-1的谱半径为

于是模型(4)的基本再生数

3 平衡点的存在性

(5)

来确定。由方程组(5)的最后一个方程，可得

(6)

将方程(6)代入方程组(5)的第二个方程，可得

将方程s1代入方程组(5)的第一个方程，可得

将基本再生数R0代入上式，则

将i1代入方程组(6)可得

综上所述可知，当R0>1时，系统(4)存在唯一的地方病平衡点E1(s1，e1，i1)，其中

4 平衡点的局部稳定性

定理2 当R0<1时，无病平衡点E0局部渐近稳定;当R0>1时，无病平衡点E0不稳定。

证明 考虑系统(4)在无病平衡点E0处的Jacobi矩阵为

它的特征方程为

化简上式可得

(λ+p+b)(λ2+mλ+l)=0。

其中

则λ1=-p-b;λ2，λ3是方程(λ2+mλ+l)=0的两个根。因此λ2+λ3=-m，λ2λ3=l。当R0<1时，m>0，l>0，有λ2λ3>0，则Reλ2，Reλ3<0，此时平衡点E0局部渐近稳定;当R0>1时，m>0，l<0，有λ2λ3<0，则λ2，λ3是两个异号的实根，此时平衡点E0不稳定。

故当R0<1时，无病平衡点E0局部渐近稳定;当R0>1时，无病平衡点E0不稳定。

定理3 当R0>1时，地方病平衡点E1局部渐近稳定。

其中

可得它的特征方程为

即

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0。

其中

a1=β1e1+β2i1+p+b+w+K，

a2=(β1e1+β2i1+p+b)(w+K)+(β1e1+β2i1)(β1s1+ab)，

a3=μ(β1e1+β2i1)(β2s1+ab)+w(β1e1+β2i1)(β1s1+ab)，

a1a2-a3=(β1e1+β2i1+p+b)2(w+K)+(β1e1+β2i1+p+b)(w+K)2+(β1e1+β2i1+p+b+w+K)(β1e1+β2i1)(β2s1+ab)

≥(β1e1+β2i1+p+b)2(w+K)+(β1e1+β2i1+

p+b)(w+K)2>0。

显然，该方程的特征根为方程λ3+a1λ2+a2λ+a3=0的解，当R0>1时，由于a1>0，a2>0，a3>0，且a1a2-a3>0，由Routh-Hurwitz定理知，该线性矩阵的所有特征根都具有负实部。

故当R0>1时，地方病平衡点E1局部渐近稳定。

5 平衡点的全局稳定性

定理4 当R0<1时，系统(4)无病平衡点E0在D内是全局渐近稳定的。

为讨论地方病平衡点的全局稳定性，先引入一个定理。

考虑如下自治系统:

x′=f(x)，f∈C1(Rn)，x∈D⊂Rn。

(7)

定理5 当R0>1时，系统(4)的地方病平衡点E1(s1，e1，i1)在域D内是全局渐近稳定的。

证明 系统(3)与系统(4)等价，为了方便，以下我们在系统(3)上求证该结论。

设p(t)=(s(t)，e(t)，i(t))T是系统(3)的ω-周期正解，在p=(s，e，i)′∈D的Jacob矩阵为

系统(3)的周ω-期正解稳定性等价于所对应的二次复合系统零解的稳定性，沿着系统(3)的任一周期解p(t)的二阶复合系统为

Y′=μX-[β1e+β2i+p+b+(ε+b-ab)]Y-(β1s+ab)Z，

X′=-[β1e+β2i+p+b+(μ+b-ab)-β1s]X+β2sY+(β2s+ab)Z，

(8)

Z′=(β1e+β2i)Y+[β1s-(μ+b-ab)-(ε+b-ab)]Z。

(9)

(10)

(11)

及

(12)

把系统(3)中的第二式和第三式改写成

(13)

(14)

将(13)式代入(9)式得

(15)

将(14)式代入(12)式得

(16)

由于

6 结束语

由于阈值

它与种群的自然出生率，预防接种率，垂直传染率，染病者的恢复率等因素有关，所以调控这些相关参数以实现R0<1，使疾病得到有效的控制。

[1]VandenDriesscheP，WatmoughJ.Reproductionnumbersandsubthresholdendemicequilibriaforcomparmentalmodelsofdiseasetransmission[J].mathbiosci，2002，180(1):29-48.

[2]L.T.Han，S.L.Ruan，Z.E.Ma.StabilityofanSIRSepidemicmodeloftwocompetitiveSpecies[J].Biomathematics，2003，18(1):21-26.

[3]HethcoteH，MaZhien，LiaoShengbing.Effectsofquarantineinsixendemicmodelsforinfectiousdiseases.[J].MathBiosci，2002，180:141-160.

[4] 张娟，马知恩.各仓室均有常数输入的SEI流行病模型的全局分析[J].西安交通大学学报，2003，37(6):653-656.

[5] 郭金生，齐文凤，唐玉玲.一类具有预防接种和垂直传染的SIR传染病模型的定性分析[J].贵州大学学报(自然科学版)，2014，31(1):11-14.

[6] 马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社.

(责任编辑：曾 晶)

Global Analysis of an SEIR Epidemic Model with Infectivity in both Latent Period and Infected Period under Vaccination

GUO Jinsheng1*，MEI Fengjuan2

(1.School of Mathematics and Statistics，Hexi University，Zhangye734000，China；2.Suolong Schools for Nine Years，Minxian 748400，China)

A kind of an epidemic model with vertical transmission and infectivity in both latent period and infected period under continuous vaccination was discussed. The basic reproductive number R0was obtained through calculation. WhenR0<1， in the system there exists disease free equilibrium point， which is globally asymptotical stable; when，R0<1the unstable disease free equilibrium exits， and has a unique the positive endemic equilibrium， which is globally asymptotical stable.

epidemic model; the basic reproductive number; vertical transmission; continuous vaccination

1000-5269(2016)06-0005-05

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.06.02

2016-03-28

河西学院校长基金 (XZ2015-01)；河西学院青年基金 (QN2014-12)

郭金生(1979-)，男，副教授，硕士，研究方向：生物数学，Email：guojinsheng1979@163.com.

*通讯作者： 郭金生，Email：guojinsheng1979@163.com.

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