在数学教学中培养学生类比推理能力的策略

江苏省常熟外国语学校 刘 虹

在数学教学中培养学生类比推理能力的策略

江苏省常熟外国语学校 刘 虹

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求，而逻辑推理又是数学核心素养六个方面之一。类比推理对于高中数学教学存在着深刻的意义，教师要培养学生的思维拓展能力，就应当指导学生运用类比推理方法去思考问题。

一、类比推理的应用价值

在自然科学发展史上，无论古代、近代，还是现代，类比在科学发现中是一种被普遍应用的方法，类比是发明创造的主要源泉之一。物理学家开普勒说过：“类比胜于一切，他是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”这样的例子不胜枚举，我国古代科学家宋应星，为了认识声音的传播，他把声音与投石击水的纹浪进行类比，推想到声音在空气中的传播方式也是以波的形式进行的。法国物理学家德布罗意将光学现象与理学现象进行类比，提出了大胆的预言：物质粒子也具有二象性；他又将物质粒子和光作了进一步类比，预言了物质波的波长。

类比推理在数学领域中的应用也比比皆是。波利亚指出：“不论是在初等数学、高等数学中的发现，或者是在别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程，特别是不能没有类比。”我国著名数学家徐利治曾说：“历史上有贡献的数学家可以说是善于应用归纳与类比发现真理的能手。”可见类比在数学发现中的巨大作用。笛卡儿在观察蜘蛛织网时产生了灵感，应用类比法建立了直角坐标系，成了解析几何学的创始人之一。在数学分析中，关于级数求和问题一直是很重要的内容，早在17世纪下半期，著名数学家贝努里不会求自然数倒数平方的级数和的值，征求大家来解决，一直到18世纪上半期才由欧拉解决，欧拉正是通过三角函数方程与代数方程巧妙的类比而求得的，欧拉的解法堪称是数学史上应用类比法的光辉典范。

类比推理在不同领域间的应用也极为广泛。平面等周定理类比到空间中就有：在所有给出体积的立体图形中，球有最小表面积。而物理学家彭加勒加以物理类比，得到了“在所有给定体积的物体中，球有最小电容量。”正四面体与DNA似乎是风马牛不相及的两样东西，但是我国科学工作者张春霆、张任根据正四面体具有高度的对称性，而DNA序列具有一定的对称性，就从他们具有的这个共同性质——对称性进行类比，得到了一些令人惊奇的发现。

类比推理作为一种逻辑方法，是一切理解和思维的基础，它有助于帮助学生启发思维，开拓境界，找到解决问题的新方法和新途径。在数学的学习中，我们应当学会运用类比推理，通过我们已经掌握的知识和规律，对遇到的新问题进行分析，归纳出它们之间的相似性和内在规律，进而找到解决问题的办法。教师在教学过程中，必须让学生学会运用类比推理，进而培养他们的数学发散思维。

二、类比推理的教学策略

1.教师要有重视和运用类比推理的意识

例如，在学习等差数列和等比数列时，由于它们无论在定义还是公式等各方面都比较雷同，因此可以利用类比推理，由等差数列的性质进行类比分析和推理，从而可以得到等比数列的性质。通过以往学过的等差数列知识的带入，对于即将学习的等比数列，通过使用类比推理的方法来学习，可以让学生产生一定的熟悉度，拉近和新知识之间的距离，在轻松掌握新知识的同时还温习了旧知识，做到了新旧知识的学习两不误，更重要的是，不仅加深了学生对知识的记忆力和掌握力，还加强了对知识脉络的统一性和连贯性。引导学生通过类比学会欣赏，通过欣赏合理类比。

2.帮助学生建构系统的类比模型

学生的学习是一个知识获得、记忆、运用的过程，对获得的知识进行加工是能够长期记忆与灵活运用的重要条件，系统建构就是一种有效的加工方式。事实上，根据类比范畴的不同，类比可分为系统间的类比和系统内的类比，系统间的类比是指两个不同知识系统之间概念、构成、性质等方面较为完整的类比，如等式与不等式、数量与向量、平面几何与立体几何之间的类比等；系统内的类比是指某个知识系统之内两个不同对象某些方面局部的类比，如实数运算中的加法与乘法、数列中的等差与等比、圆锥曲线中的椭圆与双曲线之间的类比等。如果学生在头脑中形成了清晰的模型系统，那么类比时便能针对不同的模型迅速找到链接，定位类比。

3.引导学生明确类比对象的相似性

在教学中要引导学生明确类比对象的相似性，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”，并且要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来。比如平面几何与立体几何之间的类比：

平面几何中的概念 立体几何中的类似概念圆球圆的切线 球的切面圆的弦 球的截面圆圆的周长 球的表面积圆的面积 球的体积

例：在平面几何中有概念：平行四边形、矩形、正方形。根据下列条件，指出它们在立体几何中类似的概念各是什么。

（1）以四面体作为三角形的类比；（2）以空间棱锥作为三角形的类比。

解析：（1）当以四面体作为三角形的类比时，由于四面体的每一个面都是三角形，因而平行四边形在立体几何中的类比图形的每一个面都应是平行四边形，即为平行六面体。同理，矩形、正方形在立体几何中的类比图形应分别是长方体、正方体。（2）由于空间棱锥的每一个侧面都是三角形，但底面不一定是三角形，因而当以空间棱锥作为三角形的类比时，仅需考虑侧面。故平行四边形在立体几何中的类比图形是棱柱（因为棱柱的侧面都是平行四边形），同理，矩形、正方形在立体几何中的类比图形分别是直棱柱、所有棱长都相等的正棱柱。

4.鼓励学生主动、大胆地进行类比

在三角形中有余弦定理，在教学中可以将余弦定理拓展到“空间图形”中，可以类比余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所形成的二面角之间的关系式。上面是将平面三角形中的余弦定理运用到空间斜三棱柱中，我们通过上述类比可以发现，类比推理可以培养学生创造性的思维方式，让学生大胆地思考问题，也可以辅助教师教学。另外，因为类比推理的结论具有或然性、创造性的特点，所以，教师在教学中要鼓励学生进行大胆类比，保护学生的积极性与创造力，从而促进学生类比推理能力的发展。

5.强调类比的合理性和科学性

尽管运用类比可进行一些伟大的发现，但是类比所得的结论不一定正确，需要进行验证，因为任何两个事物之间总有一定的差异性，如果推出的属性正好是他们的差异性，那么类比的结论就会产生错误。诚如波利亚所言：“如果把这种猜测的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的（但是忽视这种似真的猜测将同样愚蠢，甚至更为愚蠢）。”在教学中一方面要鼓励学生根据类比对象的相似性及类比规律大胆猜想，给出最合理的结论；另一方面要要求学生对类比的思维过程进行分析，检验结论的正确性。有时这个过程是比较曲折的，当猜想的结论经检验不成立时，则需要根据思维过程的类比分析做出调整。反之，如果学生只关注类比结论，忽视了类比过程，则容易过于追求结论的形式化。