三角代数上的可导映射对

魏 燕,张建华

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

三角代数上的可导映射对

魏 燕,张建华

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

设U=Tri(A,M,B)是三角代数,E是U的标准双边模, 且δ,τ:A→E是两个映射(无可加或线性假设).利用代数分解方法,证明了三角代数上的可导映射对是可加的. 即如果∀a,b∈U, 有δ(ab)=δ(a)b+aτ(b), 则δ是由U到E的可加广义导子, τ是由U到E的可加导子. 作为应用, 给出了上三角矩阵块代数和套代数上可导映射对的具体表达形式.

三角代数; 可导映射对; 可加性

0 引 言

近年来, 环或代数上可导映射,Jordan可导映射以及Lie可导映射的研究受到了国内外学者广泛关注[1-5].Daif[1]证明了一类含非平凡幂等元且满足一定条件的环上的可导映射是可加的.Ji[2]得到了一类Jordan代数上的Jordan可导映射是可加的.Lu[3]证明了含非平凡幂等元的素环上的Jordan可导映射是可加的,并在文献[4]中给出了素环上Lie可导映射的结构表达形式. 最近,Liu[5]证明了套代数上的k-Jordan可导映射是可加的.其他相关工作可参见文献[6-17].

设δ,τ:A→E是两个映射(无可加或线性假设).如果∀a,b∈A, 有δ(ab)=δ(a)b+aτ(b),则称(δ,τ)是A上的可导映射对. 类似地,如果∀a,b∈A, 分别有δ(a○b)=δ(a)○b+a○τ(b)和δ([a,b])=[δ(a),b]+[a,τ(b)], 则分别称(δ, τ)是A上的Jordan可导映射对和Lie可导映射对.其中a○b=ab+ba为a与b的Jordan积，[a,b]=ab-ba为a与b的Lie积.显然, 当δ=τ时, 可导映射对,Jordan可导映射对和Lie可导映射对(δ, τ)分别是可导映射,Jordan可导映射和Lie可导映射.本文将研究三角代数上的可导映射对的可加性问题.

设 A和 B是可交换环R上含单位元的代数, M是 (A,B)-忠实双边模. 在通常的矩阵运算下, 称

为R上的三角代数[12]. 设U=Tri(A,M,B)是一个三角代数, E是U的双边模,1A和 1B分别为 A和B的单位元.记

以及

Uij=piUpj, Eij=piEpj(1≤i≤j≤2).

显然, U=U11⊕U12⊕U22, E=E11⊕E12⊕E21⊕E22. 对a∈E11, b∈E22,如果aU12=0 蕴含a=0 且 U12b=0蕴含b=0, 则称E是U的标准双边模. 易验证,三角代数U本身就是U的一个标准双边模.

1 主要结果与证明

定理1 设U=Tri(A,M,B)是三角代数,E是U的标准双边模，则由U到E的任一可导映射对(δ,τ)是可加的. 进而,τ是由U到E的可加导子,δ是由U到E的关于τ的可加广义导子.

以下假设(δ, τ)为由三角代数U到其标准双边模E的可导映射对. 即∀a,b∈U, 有

δ(ab)=δ(a)b+aτ(b).

(1)

下面通过几个引理来完成定理1的证明.

引理1 δ(0)=0.

证明 δ(0)=δ(00)=δ(0)0+0τ(0)=0.证毕.

引理2 pjδ(pi)pj=0,τ(pi)=piδ(pi)pj-pjδ(pj)pi(1≤i≤j≤2).

证明 在式(1)中取a=b=pi, 则

δ(pi)=δ(pi)pi+piτ(pi).

(2)

对式(2)分别左右同乘pj, 右乘pi, 左乘pi右乘pj得

pjδ(pi)pj=piτ(pi)pi=0, piτ(pi)pj=piδ(pi)pj.

在式(1)中取a=pj, b=pi, 则由引理1得

0=δ(pjpi)=δ(pj)pi+pjτ(pi).

(3)

对式(3)分别右乘pj, 左乘pj右乘pi得

pjτ(pi)pj=0, pjτ(pi)pi=-pjδ(pj)pi.

所以

τ(pi)= piτ(pi)pi+piτ(pi)pj+pjτ(pi)pi+pjτ(pi)pj=

piδ(pi)pj-pjδ(pj)pi.

证毕.

记r1=p1δ(p1)p1+p2δ(p1)p1+p1δ(p2)p2,r2=p1δ(p1)p2+p2δ(p2)p1+p2δ(p2)p2.定义映射Φ,ψ:U→E分别为

Φ(a)=δ(a)-r1a-ar2, ψ(a)=τ(a)+r2a-ar2.

(4)

引理3 ∀a, b∈U,有Φ(ab)=Φ(a)b+aψ(b), 且Φ(pi)=ψ(pi)=0(i=1,2).

证明 ∀a, b∈U, 由式(1)和(4)式可知

即(Φ,ψ)是U的可导映射对. 再由式(4)和引理2可知

类似可得Φ(p2)=0及ψ(pi)=0 (i=1,2). 证毕.

以下讨论可导映射对(Φ,ψ)的可加性.

引理4 设ail∈Uil且bik∈Uik(1≤i,l,k≤2). 则

(a) ψ(ail+bik)=Φ(ail+bik),

(b) ψ(ail)=Φ(ail)∈Eil.

证明 (a) 设1≤j≤2且j≠i.则由引理1和引理3,得

0=Φ(pj(ail+bik))=Φ(pj)(ail+bik)+pjψ(ail+bik)=pjψ(ail+bik),

且

Φ(ail+bik)=Φ(pi(ail+bik))=Φ(pi)(ail+bik)+piψ(ail+bik)=piψ(ail+bik).

从而

ψ(ail+bik)=pjψ(ail+bik)+piψ(ail+bik)=Φ(ail+bik).

(5)

(b) 在式(5)中, 取bik=0, 则由引理3,得

证毕.

引理5 设aij∈Uij(1≤i≤j≤2)，则

(a) ψ(a12+a22)=ψ(a12)+ψ(a22),

(b) ψ(a11+a22)=ψ(a11)+ψ(a22),

(c) ψ(a11+a12)=ψ(a11)+ψ(a12).

证明 (a) 由引理4(b)和引理3, 则

以及

从而

ψ(a22+a12)=p1ψ(a12+a22)+p2ψ(a12+a22)=ψ(a12)+ψ(a22).

类似可得(b)和(c)也成立.证毕.

引理6 设a12,b12∈U12,则ψ(a12+b12)=ψ(a12)+ψ(b12).

证明 由于a12+b12=(a12+p1)(p2+b12),从而由引理4和引理5,得

证毕.

引理7 设aii,bii∈Uii(i=1,2),则

(a) ψ(a11+b11)=ψ(a11)+ψ(b11),

(b) ψ(a22+b22)=ψ(a22)+ψ(b22).

证明 (a) ∀c12∈U12,根据引理4和引理6, 则一方面,

另一方面,

比较式(6)与(7),∀c12∈U12, 有

(ψ(a11+b11)-ψ(a11)-ψ(b11))c12=0.

由于E是U的标准双边模, 从而

ψ(a11+b11)=ψ(a11)+ψ(b11).

类似可得(b)也成立. 证毕.

引理8 设aij∈Uij(1≤i≤j≤2),则ψ(a11+a12+a22)=ψ(a11)+ψ(a12)+ψ(a22).

证明 由引理3和引理4, 则

以及

从而由式(8)与(9)及引理5(c),可得

证毕.

引理9 ∀a,b∈U,有ψ(a+b)=ψ(a)+ψ(b),即 ψ是可加的.

证明 设a,b∈U, 则a=a11+a12+a22,b=b11+b12+b22, 其中 aij,bij∈Uij(1≤i≤j≤2). 从而由引理6～8可知

证毕.

定理1的证明 由式(4)和引理9可知,τ是可加的.在式(1)中取a=1, 则∀b∈U, 有

δ(b)=τ(b)+δ(1)b.

(10)

从而δ是可加的.在式(10)中用ab替代b, 则

于是τ是可加导子. 再由式(1),从而δ是关于τ的可加广义导子. 证毕.

上三角矩阵块代数和套代数都是特殊的三角代数, 而每一个有限维空间上的非平凡套代数都同构于一个上三角矩阵块代数. 所以由定理1和文献[13]可得以下推论.

推论1 设T(R)是含单位的可交换环R上的上三角矩阵块代数,(δ,τ)是从T到自身的可导映射对. 则存在S,T∈T(R)以及可加导子α: R→ R,使得∀A∈T(R), 有δ(A)=AS-TA+Aα,τ(A)=AS-SA+Aα, 其中Aα=(α(aij)).

对于无限维的情况, 由定理1和文献[14]可得以下推论.

推论2 设X是数域F上的无限维Banach空间,N是X上含非平凡可补元的套,AlgN是相应的套代数, (δ,τ)是从AlgN到B(X)的可导映射对. 则存在T,S∈AlgN使得∀A∈AlgN,有δ(A)=AT-SA, τ(A)=AT-TA.

[1] DAIF M N.When is a multiplicative derivation additive?[J].Math Math Sci,1991,14(3):615-618.

[2] JI Peisheng,LAI Yixin,HOU Enran,et al.Multiplicative Jordan derivation on Jordan algebras[J].Acta Math Sinica,2010,53(3):571-578.

[3] LU Fangyan.Jordan derivable maps of prime rings[J].Comm Algebra,2010,38(12):4430-4440.

[4] JING Wu,LU Fangyan.Lie derivable mappings on prime rings[J].Linear Algebra Appl,2012,60(2):167-180.

[5] LIU Lei,JI Guoxing.K-Jordan derivable maps on nest algebras[J].Acta Math Sinica,2012,55:567-576.

[6] JING Wu,LU Fangyan.Additivity of Jordan (Triple) derivations on rings[J].Comm Algebra,2012,40(8):2700-2719.

[7] MARTINDALE W S.When are multiplicative mappings additive?[J].Proc Amer Math Soc,1969,21(3):695-698.

[8] LU Fangyan.Additivity of Jordan maps on standard operator algebras[J].Linear Algebra Appl,2002,357(1-3):123-131.

[9] AN Ruilin,HOU Jinchuan.Additivity of Jordan multiplicative maps on Jordan operator algebras[J].Taiwanese J Math,2006,10(1):45-64.

[10] DU Wei,ZHANG Jianhua.Jordan semi-triple derivable maps of matrix algebras[J].Acta Math Sinica,2008,51:571-578.

[11] LU Fangyan.Multiplicative mappings of operator algebras[J].Linear Algebra Appl,2002,347(1-3):283-291.

[12] CHENG W S.Commuting maps of triangular algebras[J].J London Math Soc,2001,63(1):117-127.

[13] COELHO S P,MILIES C P.Derivations of upper triangular matrix rings[J].Linear Algebra Appl,1993,187(93):263-267.

[14] HAN Denggen.Additive derivations of nest algebras[J].Proc Amer Math Soc,1993,119(4): 1165-1169.

[15] LU Fangyan.Additivity of Jordan maps on standard operator algebras[J].Linear Algebra Appl,2009,357(1-3):123-131.

[16] WANG Yang.Additivity of multiplicative maps on triangular rings[J].Linear Algebra Appl,2011,434(3):615-635.

[17] MATHIEU M,VILLENA A R,KU B H.The structure of Lie derivations onC*-algebras[J].J Funct Anal,2003,202(2):504-525.

编辑、校对：师 琅

Pairs of derivable maps on triangular algebras

WEIYan,ZHANGJianhua

(School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710119,China)

Let U=Tri(A,M,B) be a triangular algebras with identity, E be a standard bi-model of U, and δ,τ:A→E are two maps (without additivity and linear). By using method of algebras decomposition, it is proved that pairs of derivation maps on triangular algebras are additive. That is, if the mapsδ,τsatisfiesδ(ab)=δ(a)b+aτ(b), for alla,b∈U, thenδis additive general derivation, andτis additive derivation fromUtoE.As an application,the concrete structure of pairs of derivable maps on nest algebras is given.

triangular algebras; pairs of derivable maps; additivity

1006-8341(2016)04-0455-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.007

2016-03-21

国家自然科学基金资助项目(11471199);教育部高等学校博士学科点专项科研基金项目(20110202110002)

张建华(1965—),男,陕西省西安市人，陕西师范大学教授,博士生导师,研究方向为算子代数.

E-mail: jhzhang@snnu.edu.cn

魏燕,张建华.三角代数上的可导映射对[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(4)：455-459.

WEI Yan,ZHANG Jianhua.Pairs of derivable maps on triangular algebras[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):455-459.

O 177.1

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