类比推理在几何中的应用

燕淑珍

我们在文科选修1-2理科选修2-2中学习过类比推理，下面就类比推理谈一下笔者的一些想法。这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现。数学家波利亚曾提出：“类比是一个伟大的引路人，求立体几何问题往往有赖于平面几何中的问题。”利用类比联想可以发现新的数学知识，利用类比可以寻求到解决数学问题的方法和途径，可培养学生的发散思维、创造思维及合情推理能力。本文就类比推理在解析几何和立体几何中的应用作一些探讨。

一、类比推理在解析几何中的应用

例1.在平面直角坐标系内，方程表示在x 轴和y 轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴y轴z轴上的截距分别为a 、b 、c（a b c≠0）的平面方程为（ ）

A. B.

C. D.

分析：由结构上的相似性产生联想可以得到结论：二维到三维只要在直线方程的左边加上就可以得到平面的方程了，所以选择A。

例2.在平面直角坐标系内，以点（x0，y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x–x0）2 + （y– y0）2 = r2 ，拓展到空间，在空间直角坐标系内，以点（x0 ，y0 ，z0）为球心，r为半径的球的方程为 。

分析：由圆的定义和球的定义的相似性可以联想到它们方程之间在结构上的相似性，故在空间直角坐标系内，以点（x0，y0，z0）为球心，r为半径的球的方程为（x–x0）2 + （y–y0）2+（z– z0）2 = r2。

例3.点P在⊙O：x2 + y2 = r2 （r>0）外的充要条件是|OP|>r；将此结论类比到椭圆，并给出证明。

分析：点在圆外可以用点到圆心的距离大于半径来作判断，那么这个结论要类比到椭圆。我们首先得分析类比对象，圆心是定点半径是定长，在椭圆中定点是焦点定长是长轴长。因此，我们可以写出这样类似的结论：若椭圆（a>b>0）的左右焦点分别是F1 、F2 ，则点Q在椭圆（a>b>0）外的充要条件是|QF1|+|QF2|>2a 。

解：类似的结论：若椭圆（a>b>0）的左右焦点分别是F1 、F2 ，则点Q在椭圆（a>b>0）外的充要条件是|QF1|+|QF2|>2a 。

例4.已知命题： 在平面直角坐标系XOY中，△ABC顶点A（-P，0）和B（P，0），顶点B在椭圆（m>0，n>0，p =）上，椭圆的离心率是e，则，试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题： 。

分析：由椭圆的定义及正弦定理可以得到，，那么类比到双曲线中，可以得到这样的一个真命题：在平面直角坐标系XOY中，△ABC顶点A（-P，0）和B（P，0），顶点B在双曲线（m>0，n>0，）上，双曲线的离心率是e，则。证明与椭圆的类似，下面给出它的证明过程。由双曲线的定义及正弦定理可以得到，

二、类比推理在立体几何中的应用

例5.如图，若射线OM，ON上分别存在点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比。若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论是 （不要求写出证明过程）。

分析：这是一个由平面到空间的推广，首先找出类比对象。面积对应体积，三角形△OM1N1，△OM2N2对应四面体O-P1Q1R1，四面体O-P2Q2R2 ，OM1×ON1 ，OM2×ON2 对应OP1×OQ1×OR1 ，OP2×OQ2×OR2 。因此，类似结论为： 。

例6.如图，已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A1，B1，C1，则。运用类比，猜想对于空间中的四面体，类似的结论是 。

分析：如图，首先找出类比对象，已知O是△ABC内任意一点，对应已知O是四面体A-BCD内任意一点；连结AO，BO，CO并延长交对边于A1，B1，C1，对应连结AO，BO，CO，DO并延长交对面BCD，ACD，ABD，ABC于A1，B1，C1，D1；对应。因此，类似结论为：已知O是四面体A-BCD内任意一点，连结AO，BO，CO，DO并延长交对面于A1，B1，C1，D1，则。

类比思想方法是数学解题中常用的策略，我通过几个例题来说明类比推理在解析几何和立体几何中的应用。数学中还有向量与数的类比，无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等。实际上，类比的应用无处不在。例如：在人们的创造发明活动中，我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇。