函数列的收敛与一致收敛

时杰

（江苏省苏州市南京师范大学强化培养学院）

函数列的收敛与一致收敛

时杰

（江苏省苏州市南京师范大学强化培养学院）

从收敛和一致收敛的概念出发，讨论数学分析中函数列的收敛与一致收敛的关系，这为如何掌握并进一步研究函数列的收敛与一致收敛问题提供了方法。

函数列；收敛；一致收敛

函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“ε-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。

实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。

一、收敛的几个定义

实数列的收敛性定义

几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论ε是怎样小的数，做点a的ε邻域（a-ε，a+ε），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。

那么是否能根据正数ε找到一个公共的N，使得N只与ε有关，不妨记为N（ε），对此我们引进比点点收敛更强一点的收敛概念，那就是一致收敛，定义如下：

注7和注8可以类比实数序列与子序列的收敛关系，其实注7和注8便是对实数序列与子序列收敛关系的推广。

下面仅给出注2、注3的简单证明：

证明注2：

证明注3：

二、一致收敛的几个等价命题

命题1（一致收敛的柯西收敛准则）

命题1等价于如下命题：

用命题1和命题2进行判别的优势在于不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特点来判断函数列是否一致收敛。

以上内容通过实数列的收敛引出函数列的收敛、一致收敛以及一致收敛的等价命题，据此我们可以研究数项级数的收敛和函数项级数的收敛与一致收敛问题。

在数学学习与研究过程中，函数列的收敛和一致收敛的证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现。这些内容更是函数项级数的收敛与一致收敛的基础。以上讨论，为学习者理清了思路，帮助学习者掌握其中规律，增强对函数列收敛与一致收敛的概念理解。

［1］张宗达.工科数学分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008-01.

［2］郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010-07.

［3］吉米多维奇.数学分析习题集题解［M］.济南:山东科学技术出版社，1981.

［4］穆勇.关于函数列一致收敛的一个判定定理［J］.宜春学院学报，2007，29（2）：48.

·编辑 薛直艳