对称基本型平曲线横净距精确计算的新算法研究

冯阳飞

(东北大学 资源与土木工程学院结构工程研究所实验室, 辽宁 沈阳 110006)

对称基本型平曲线横净距精确计算的新算法研究

冯阳飞

(东北大学 资源与土木工程学院结构工程研究所实验室, 辽宁 沈阳 110006)

对对称基本型平曲线横净距的计算方法进行了分析研究，提出利用对称基本型平曲线属于凸型曲线的特点、应用视点连线斜率快速准确地寻找计算点位置的新的横净距简化计算方法，可对平曲线上任一点位进行较精确横净距的计算。应用VB6编制了计算程序，可精确计算该型曲线任意位置时的最大横净距。

横净距； 视点轨迹线； 缓和曲线； 坐标系统； 斜率

公路对称基本型平曲线横净距的计算的难点在于涉及缓和曲线部分的计算，目前计算横净距均为近似计算方法。对称基本型平曲线横净距的计算方法有多篇论文进行探讨，并相应编制计算机程序进行计算，但计算工作量比较大，且精度有待进一步提高。简化计算方法、减少计算工作量、提高计算结果精度应为横净距计算的发展趋势。

1 目前最大横净距的计算方法及存在的问题

① 对称基本型平曲线最大横净距的计算难点在于与缓和曲线相关的计算。早期的计算采用近似计算方法，即以缓和曲线弧段代替对应的弦长。文献[3]对计算方法进行了改进，提高了精度，但计算过程仍显复杂。

② 文献[4]在对对称基本型平曲线任一点位横净距计算研究时，利用几何关系获得缓和路段路中线与视点轨迹线缓和曲线长度的对应关系，并以此对应关系获得路中线某点桩号在视点轨迹线的相应位置，然后采用等步长同向移动法进行计算，比较出计算点到视点连线最大的距离作为所求的横净距值。这种计算方法拟定视点轨迹线采用缓和曲线，这比较符合实际的行车轨迹，但ZH点与ZHs点有一个ΔT的差值，若计算时不考虑则会影响结果的精度，而且在计算横净距时也是一种试算的方法，所得到的横净距值的精度随步长选取的大小而不同，步长越大，精度越低，反之则精度高，而随之重复计算工作量也越大。

③ 文献[6]在对对称基本型平曲线任一点位横净距进行计算时,是利用文献[3]中所得缓和路段路中线与视点轨迹线的对应关系，再采用文献[4]的等步长同向移动法进行计算，因此同样存在精度随步长选择而异的问题。文献[6]采用路中线与视点轨迹线平行等距关系，几何关系明确，利于坐标计算，但与实际行车轨迹线有一定偏差。

2 对称基本型平曲线横净距计算的新方法

2.1 对称基本型平曲线横净距计算新方法基本原理

本文提出的横净距计算方法的基本思路是充分利用坐标系统、平面解析几何的基本原理及路中线与视点轨迹线等距平行的设定关系，首先根据已知的参数计算确定视点起终点的坐标，然后按照视点连线的斜率及对称基本型平曲线属于凸型曲线的特点准确寻找其在路中线斜率相等的计算点，最后计算计算点到视点连线的距离再减去e值就得到横净距值。

2.2 横净距计算的已知参数及主要计算公式

为了能清晰说明具体计算步骤，本文先列出已知的参数及主要计算公式表(见表1)。对于缓和曲线要素、坐标计算的相关公式，读者可查阅相关教材，此不列出。

表1 横净距计算参数及主要计算公式表Table1 CalculationoftheparametersofTransversespacingandthemaincalculationformula编号计算公式公式说明1L=ls+eΔβ缓和曲线与对应视点轨迹线长度关系式，Δβ为缓和曲线弧段转角2x=2Rsinαx2cos(β+αx2)+xhyy=2Rsinαx2sin(β+αx2)+yhy园曲线上一点的坐标计算，αyx为对应的圆心角3y=x1sinα+y1cosα+yhzxoy坐标系统与x1o1y1坐标系统转换公式，x1以-x1代入4yhz=2Tcosα2sinα2HZ点在xoy系统的坐标。T为切线总长，其计算按相关教材公式，此略5d=AXa+BYa+CA2+B2点到直线距离计算6z=d-e横净距值计算 注：已知参数：R(曲线半径，m)；α(平曲线转角，rad)；L(缓和曲线长，m)；e(路中线与视点轨迹线距离，m)；S(行车视距，m)。

3 任一点横净距计算步骤

如图1所示，B点与m点是对应点，C点与n点是对应点。为说明问题，本步骤设定视点起终点都在缓和曲线对应的视点轨迹线上。而视点在直线或园曲线上时，坐标较容易计算。

① 根据已知参数及公式(1)分别计算出：β(缓和曲线转角)、αy(园曲线转角)、Ls(缓和曲线对应视点轨迹线长度)、A2(回旋参数)、Ly(园曲线长度)、Ly1(视点轨迹线园曲线长度)。

② 根据拟定的桩号确定B点对应的缓和曲线长Lx。

③ 利用缓和曲线计算公式计算B点坐标(xb,yb)，计算B点切线角βx、切线斜率kb。

④ 利用公式(1)计算Lx对应的视点轨迹线长Lx1

⑤ 建立过B点的法线方程和m(x1,y1)点到B点的距离方程：

⑥ 解方程组得m点的坐标(x1,y1)。

⑦ 根据Lx1从m点沿视点轨迹线量取视距S长度得到n点,n点的坐标(x2,y2)。

⑧ 利用公式(1)计算出n点的对应点C点到HZ点的缓和曲线长度。

⑨ 利用缓和曲线计算公式计算C点坐标，计算C点切线角、切线斜率(同步骤(3))。

⑩ 建立过C点的法线方程和n(x2,y2)点到C点的距离方程(同步骤⑤)。

图1 对称基本型平曲线上任意点横净距的计算Figure 1 The calculation of the transverse spacing of any point on the symmetrical basic horizontal curves

4 算例

4.1 对称基本型平曲线任一点横净距的计算

如图1，以文献[3]算例条件为例，设计参数：二级公路，设计速度Vd=60 km/h，路面宽B=7 m，平曲线半径R=130 m，缓和曲线长度L=70 m，曲线转角α=49°30′00″，采用会车视距S=150 m，假定m点在直线段，且距离ZHs为20 m。

① 根据已知参数及公式(1)计算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

② 因m点在直线段，则m点的坐标：(-20,2)。

③ 根据视距S确定及视点轨迹线各段长度算得n点到HZS点的曲线长度：

Lx2=50.5842。

④ 利用公式(1)计算出n点在缓和曲线对应点C到HZ点的曲线长度：

Lx=50.8686。

⑤ 利用缓和曲线计算公式计算出C点坐标：(50.7658,2.4073)；C点切线角：βb=0.1422；C点切线斜率：kc=0.1432。

⑥ 建立过C点法线方程及n点到C点的距离方程：

⑦ 解得n点坐标：(50.4825,4.3871)。

⑧ 应用缓和曲线要素计算公式计算切线总长：T=95.5675。

⑨ 利用公式(4)计算HZ点在xoy坐标系统的坐标为：(157.6364,72.6677)。

⑩ 利用公式(3)计算n点在xoy坐标系统的坐标为：(121.5136,37.1329)。

4.2 对称基本型平曲线最大横净的计算

如图2所示，仍以文献[3]算例条件为例，采用停车视距S=75 m。

① 根据已知参数及公式(1)计算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

③ 利用公式(1)解方程计算对应点B点对应的缓和曲线长度Lx=53.102。

④ 利用缓和曲线坐标计算公式得B点坐标：(52.9746,2.7377)；

HY点坐标：(69.4943,6.2497)；

B点切线角：βb=0.1549；B点切线斜率：kb=0.1562。

⑤ 建立过B点法线方程及m点到B点距离方程：

(x1-52.974 6)2+(y1-2.737 7)2=4。

⑥ 解得m点坐标： (52.666,4.7135)。

⑦ 利用公式(2)计算的A点(QZ)坐标： (89.3422,13.5088)。

⑨mn直线方程：y-4.7135=0.461(x-52.666)。

⑩ 利用公式(5)计算A点到mn的距离：d=7.3676。

计算结果与文献[3]相同。

图2 对称基本型平曲线最大横净距计算Figure 2 The calculation of the maximal transverse spacing on the symmetrical basic horizontal curves

5 横净距计算方法比较

本文提出的对称基本型平曲线任一点横净距的计算方法与文献[4]、[6]采用的计算方法的主要的区别是在视点与计算点确定的先后顺序上及计算工作量上。文献[4]、[6]采用先确定计算点再寻找视点算法重复计算工作量大，且精度与步长选取密切相关，而本文采用先确定视点再寻找计算点，只需一次计算就可获得准确的横净距值。有研究者认为以计算点为基点寻找视点起终点符合工程设计与施工习惯，对此本文认为这样的习惯并不合理，因为站在视点的位置更符合实际情况，而且本文计算方法也可以以视点为基点进行逐桩横净距计算并绘制视距包络图，因此本计算方法具有较多的优点。对于对称基本型平曲线最大横净距的计算，在算例2中可体现出比文献[3]的计算方法有所简化。

6 VB6程序计算横净距简介

按照本文提出的计算方法利用VB6编制了程序进行横净距计算。表1为以算例1为条件的逐桩计算横净距的计算结果(见表2)。为了简便，表1中以ZH点作为K0+000.000，“里程桩号”栏与“A点桩号”栏标注与ZH点距离，而在实际应用中则标注桩号。

表2 横净距逐桩计算表Table2 Pilebypilecalculationofthetransversespacing中线里程桩号视点m坐标视点n坐标计算点A坐标XYXYXY横净距ZA点桩号—140—14021020183134910000050014113491—130—130219999214742661000140132842661—120—1202299926249697749800085041377498—110—1102399686317931199060031609321119907—100—100249904430531674050085917114167409—90 —90259760459843219986019527825220001—80 —802694811832192773310390841608277381—70 —7027899431139553385250711258264338659—60 —6028823871520224018451190676974402163—50 —5029715781971874663181863396868466989—40 —402105697124917653158327665117186532878—30 —302113812530756259705239329136973599383—20 —202121513637132966161253765154864665543—10 —1021288424439348725029711891695167313170 02135856851061279072929541799388005281099782018214261858413785787811933618539387269220199113214511491959659017924124149727185592945586

7 结论与展望

① 采用以先确定视点再寻找计算点的任一点横净距计算方法与目前采用的先确定计算点再寻找两个视点的计算方法相比具有计算工作量小、计算结果精确、避免大量重复计算的优点，是值得推广的计算方法。

② 本计算方法的提出为计算复杂的平面线形组合的任意点横净距计算建立了良好的基础。对于诸如缓和复曲线、C形曲线等比较复杂的组合，采用步长移动的方法寻找视点将会加大重复计算的次数、降低计算结果精度，而采用本文计算方法则会很好地解决上述问题。

③ 提高横净距计算结果的精度需要确定合理的视点轨迹线和提高横净距计算过程本身的精度两方面，本文只是提高了横净距计算过程本身的精度，而对于如何确定合理的视点轨迹线还有待进行深入研究。目前采用的视点轨迹线与路中线等距平行属于近似计算，文献[4]所采用的缓和曲线视点轨迹线是否符合实际有待商榷。

④ 本计算方法编制的程序可快速、精确地计算各点的横净距，且界面简单、操作方便，可为在道路设计与施工中校核横净距提供帮助。

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The New Algorithm Study on the Accurate Calculation of Transverse Spacing of Symmetrical Basic Horizontal Curves

FENG Yangfei

(Laboratory of Northeastem University College of Resources and Civil English Structural Engineer Research Institute)

The paper studies the calculation method of Transverse spacing in the light of the basic model of symmetrical plane curre andPut forward a new simplified calculation method of transverse spacing That can find quickly and accurately calculation point through applying the characteristic of convex curve symmetrical basic horizontal curves have and the slope of the line of sight,this calculation method can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves. calculation It has been worken out that calculation program can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves accurately using VB6.

transverse spacing； view trajectory； transition curve； coordinate system； slope

2014 — 12 — 12

冯阳飞(1962 — )，男，四川绵阳人，硕士，高级工程师，研究方向：道路工程。

U 412.34

A

1674 — 0610(2016)06 — 0016 — 04