处理动态平衡问题的方法

刘嘉栋

一、物体的动态平衡问题

物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某个力（或某几个力）的大小或方向，发生变化时，物体受到的其它力也会随之发生变化，如果在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，我们就可以依据平衡条件，分析出物体受到的各力的变化情况。

二、分析方法

1.图解法：对研究对象进行受力分析，利用平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况，并确定极值状态。

条件：图解法分析动态平衡问题，往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，但大小发生变化，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化。

例题1：半圆形支架BCD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化？

解析：对结点O受力分析如图：

结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的。

故答案为：OA绳受力大小变化情况：变小；OB绳受力大小变化情况是：先变小后变大。

方法归纳：力的图解法分为合成法和分解法两种，合成法的关键是作好受力分析，找清变力和不变力。

2.相似三角形法：对研究对象进行受力分析，利用平行四边形定则或三角形定则运算的过程中，力的三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形的对应边成比例等性质求解。

条件：如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力为恒力，另外两个力的方向、大小都发生变化的情况下，考虑三角形的相似关系。

例题2：如图所示，在半径为R的光滑半球面上高为h处悬挂一定滑轮，重力为G的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化？

解析：小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。任选一状态，受力如下图所示。不难看出，力三角形ΔFAG与几何关系三角形△BAO相似，从而有：

（其中与G等大，L为绳子AB的长度）

由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见：球面的支持力N= 大小不变，绳子的拉力F= 在减小。

方法归纳：关键是作好受力分析，找出解题方法，找对对应边列方程。

三、跟踪训练

1.如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（ ）

A.绳OA的拉力逐渐增大；

B.绳OA的拉力逐渐减小；

C.绳OA的拉力先增大后减小；

D.绳OA的拉力先减小后增大。

2.重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

3.如图所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。

4.如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，轻杆B端所受的力（ ）

A.大小不变 B.逐渐增大

C.逐渐减小 D.先减小后增大

答案：

1.解析：以O点位研究对象，处于平衡装态，根据受力平衡，有：

由图可知，绳子OB上的拉力逐渐减小，OA上的拉力先减小后增大，故ABC错误，D正确。

故选D。

2.解析：小球受重力、斜面弹力F1和挡板弹力F2，将F1与F2合成为F，如图

小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1和F2合成的合力F一定与重力等值、反向、共线。

从图中可以看出，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，F1越来越小，F2先变小，后变大；

3.解析：对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图的左图和中图所示。

由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当β增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图中的右图所示。

显然，随着β增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min=Gsinα。

4.解析：以B点为研究对象，受力分析如图所示。由几何知识得△ABC与矢量三角形FGFBB相似，则有AC：BC=FG：FB.由共点力的平衡条件知FA、FB的合力FG=G大小不变，又AC、BC均不变，故FB不变，可知轻杆B端受力不变。故选A。