数学学习应顺应学科结构自然生长

郜晓定

所谓结构，是指组成整体的各部分的搭配和安排。数学以逻辑为特长，以系统为特征，数和形的演绎显示着数学严谨的结构。但是，现实教学中常见各种“碎片”式的数学教学，造成学生只见树木不见森林，知识点累积得越多越容易迷失其中。皮亚杰的“认知结构”理论和列维的结构主义研究表明数学学习应该关注数学本身，关注数学的结构化。真正意义上的数学学习应该是顺着数学本身的结构自然生长，让学习真正发生，获得结构化的思维方式，感悟数学的思想方法。

一、纵横融通，把握结构之“形”

数学的结构是内隐的。我们所见的教材显现的总是课时分明的教学内容，教师应该认真研读教材，不但研读本课时的教学内容，还要研读与之相关的其他内容，挖掘文本之外的暗线，深刻把握知识内部的关联。在此基础上研究学生，了解学生已有的认知结构，从学生的角度出发帮助学生在已有认知结构之上让知识链伸长、分支，建构知识网，把握数学结构之“形”，让学生学有结构的数学。

1.纵向融通，“串”起来

任何一个数学知识点都不可能独立存在，往前追溯会有其生长点，往后发展会有其延伸点。教师如果能引导学生认识到知识点的前后联系，明白其发生与发展的过程，了解其在知识链中的结构关系，那么新知识就会自然纳入原有知识结构中，串成整体的知识链。

如对分数的认识，教师要引导学生边学边“串”：三年级上册学习把一个物体平均分成几份，直观认识几分之一和几分之几；三年级下册学习把一些物体组成的整体平均分成几份，认识对应的分数；五年级下册学习把单位“1”平均分成若干份，认识几分之几。每一阶段都承上启下，从直观逐步抽象，完成分数意义的建构。紧接着，运用分数的意义可以理解分数的基本性质，而运用分数的基本性质可以将分数约分或通分，约分或通分后可以顺利地比较分数大小和进行分数之间的运算，而分数之间的运算直接为解决问题服务。学生如果能清晰地明了这些内容之间的关系，那么和分数相关的知识自然就会形成有序的整体，而不是散落的碎片。整体的建构同时能促进学生的理解，使学生明白每一项内容的价值和作用。

2.横向融通，“合”起来

有些数学内容从表面看关联并不明显，但如果深入进去仔细分析，就能发现它们内部隐藏的联系，而这些联系恰恰能帮助学生透过现象理解其本质。在数学教学中，教师要带领学生将不同的学习内容进行比较分析，寻找它们之间的共性，这样，原本割裂的内容就能通过一条暗线统一起来。

如商不变的规律、分数的基本性质、小数的性质、比的基本性质这些内容散落在各个年级的各个单元，如果结合分数、小数、除法、比的互化，引导学生把它们放在一起比较，学生就不难发现它们是相通的、是一致的。从本质上看它们可以合成同一种性质，不同的数学表示才衍生出名称不同的性质和规律，由其中某一个性质我们能顺利地推想出其他的几个性质。

3.多向融通，“连”起来

数学结构是奇妙的，庞大的数学体系犹如一张复杂的大网，节点处通向四面八方。学生学习数学的过程也是将数学知识相连、相整合的过程。某一学习内容和其他内容相连的节点越多，建构的认知结构就越牢固，越具连续性和发展性。

如认识百分数，男生人数是女生的200%。这里的200%和以前的哪种说法意思一样？（2倍）王大伯家今年种的粮食比去年增产了10%。这里的10%可以换作什么？（■、一成）这样沟通了百分数和分数、倍数、成数之间的联系，使学生认识到分数、成数、百分数、倍数都可以表示两个量之间的关系，百分数是常用的方式之一。如此，学生就能将百分数顺利纳入到原有认知结构中，并与相关概念建立联系，既能入乎其内，又能出乎其外。

二、反思迁移，领会结构之“神”

数学内部的结构是固有的，但是这些固有的结构如果硬生生地填进学生的头脑，它依然是僵化的。教学的最终目标是促进学生自身的发展，数学学习不应止步于掌握数学内部的结构，而应该通过结构化的教学促成学生进行结构化的学习，通过结构化过程的展开培养学生结构化的思维方式，进行结构化的数学探究，提高学生的数学学力。

1.展开有结构的思维

思维能力的培养是在具体的教学过程中潜移默化进行的，教师应该通过结构化的教学促成学生结构化思维方式形成，发展学生的数学思考，培养学生理性的思维方式，这是学生终身受用的。

“角的度量”是四年级教学的难点之一，通常在教师口干舌燥地讲了量角的操作方法后学生依然不得要领，常常把量角器上内圈读数与外圈读数混淆。究其原因，这和教学方式有关，直接讲授操作方法，学生缺乏思维的参与，不知其原因，机械操作必然错误百出。

笔者曾这样尝试着进行结构化教学。

1.从厘米尺量长度开始。（二年级）

认识1厘米后，教师用厘米尺量一支蜡笔的长度，蜡笔长几厘米？你是怎么看出来的？为什么用尺可以量出蜡笔的长度呢？（尺上有许多1厘米，将蜡笔对着尺比，蜡笔和尺上的8厘米一样长，所以蜡笔长8厘米）

你能量出这条线段的长吗？（学生自己量）

交流：你是怎么量的？（学生量法五花八门，有从0刻度开始，有从1开始，有从其他刻度开始……）

为什么说它的长度是4厘米？（和尺上4个1厘米一样长）

比较多种量法，你觉得从哪个刻度开始量能很快知道它的长度？为什么？

这样教学使学生明白测量长度的本质是将物品和尺上的标准长度比较，里面包含了几个1厘米，就是几厘米长。

2.用量角器量角。（四年级）

认识角后，介绍角的单位：度（°），认识1°的角。怎样知道一个未知角的度数呢？（用1°的角去比，包含几个1°的角就是多少度）

演示将若干个1°的角拼在一起形成量角器的过程，量角器可以量出角的度数吗？为什么？

试着用量角器量出一个角的度数。交流：你是怎么量的？（有的学生并没有从0刻度量起）为什么量法不同，却都能量出角的度数？（只要看这个角里面包含了几个1°的角）怎样量能很快知道角的度数呢？

3.反思

量角度和量长度有相同的地方吗？（都是将测量对象和标准单位比较，里面包含了几个标准单位就是要测量的数据）

以上教学过程虽然跨越两个年级，但在“测量”的统领下自然形成一个整体。相信经历这样的学习过程学生一定不会再纠缠于内圈和外圈读数，即使是一个破损的量角器也一定能量出一个角的度数。更为重要的是学生以后对于其他量的测量一定能形成这样的结构思维：测量对象是什么？标准单位是什么？测量对象中包含了多少个这样的标准单位？建立在这样的结构思维之上，还需要担心不会操作吗？

2.尝试有结构的探索

学生的数学学习是无止境的，已有知识的掌握是探索未知的基础，已有经验的积累也是以后探究的前提。在同一类数学内容的学习过程中教师带领学生采用同样的方式，经历类似的过程，学生就能明了探究方法的结构。

如“探索规律”的教学，教师引导学生按“观察→猜想→验证→概括 →反思→运用”的步骤展开探索活动，学生以后探索其他数学规律时便会自觉进行方法结构的迁移，独立进行数学研究和探索。从立体图形的学习中学生会积累“研究特征→表面积→体积→应用”的学习经验。从相关统计内容的学习中认识“收集数据→整理数据→选择合适的图表分析数据→预测或决策”的统计步骤。过程与方法的结构帮助学生指明途径和方向，能够使学生在以后的学习中主动迁移，在已有经验的基础上独立开展学习探索活动，学生获取的不仅仅是知识本身，更是学习自主性的加强和探究新事物、研究新问题能力的提升。

三、凸显本质，感悟结构之“魂”

数学思想方法和数学的理性精神是数学的灵魂，有魂的数学教学才是有生命的，才能承载促进学生发展的重任。结构化的数学教学，教师要引导学生触摸数学的灵魂，使学生感受数学的魅力，享受智趣的快乐。

1.体悟结构蕴藏的数学思想方法

在结构化的教学中，数学思想方法通常蕴藏在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生只有经历了结构化的学习过程才能逐步感悟数学思想方法。

如学习小数除法，需要经历把小数除法转化为整数除法的过程；学习异分母分数加减法需要经历把异分母分数转化为同分母分数的过程；学习平行四边形、三角形、梯形、圆形面积公式时需要经历把它们互相转化，实现同化和顺应，从而建构学生的认知结构，这些结构的背后是化归思想的统领。认识分数、小数、百分数时借助图形帮忙；认识乘法、学习分数乘分数时用图形表示算式；解决问题时用线段图表示数量关系，这些学习过程将抽象的数学语言与直观的图形结合，在数与形之间架设起联系的桥梁，促进形象思维和抽象思维的协调发展，贯穿其中的是数形结合的思想。

小学数学教学中蕴藏的数学思想方法还有分类思想、模型思想、函数思想等。在教学中，如果教师能引导学生从结构化的教学过程中凝练提升，学生就能感悟数学思想方法的价值，并用这些数学思想方法指导以后的数学学习。

2.感受结构背后的数学理性精神

克莱因曾经说过：“数学是一种理性精神，它使人类的思维得以运用到最完善的程度。”数学的理性精神主要体现在求实、求真、求简、求新。数学语言的简练、精确、概括；分数和小数的化简；运算中的简便计算，这些无不彰显数学化繁为简的特质，数形合一、万物皆数。在学习“钉子板上的多边形”时教师带领学生共同观察、提出猜想、反复验证，不断修正发现，这种一丝不苟追求真理的的态度不正是数学求真的精神所在吗？透过数学本身的知识结构和教与学的结构化，数学的理性精神会根植于学生的头脑和血脉中。它虽然无形，却具有强大的力量，推动着学生以科学的方法不断探究新的世界、寻求新的发现、进行新的创造。

基于结构化的数学教学，学生能实现真正的自我建构，让学生在整体视野下认识数学知识的本质联系和结构，以全局的视界把握学习内容，体会“会当凌绝顶，一览众山小”的感受。基于结构化的数学学习使学生逐步具有结构化的思维方式，积累丰富的探究活动经验，感受数学的思想方法，体悟数学的理性精神，这些是数学学习带给学生的宝贵财富。

[责任编辑：陈国庆]