例谈解几中向量应用意识的培养

江苏省金湖中学 秦利芳

例谈解几中向量应用意识的培养

江苏省金湖中学 秦利芳

向量知识作为工具，在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用。它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，是高考命题的热点。但我国向量知识却是在全面实施新课程后才作为教学内容进入高中数学教材的。学生还不太适应用向量知识方法解题。在数学解题方面，向量应用意识不强。如在解析几何中有些问题总习惯用常规方法去解决，造成过程运算比较繁杂，若能灵活运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。鉴于此，笔者想谈谈如何培养学生在解析几何中应用平面向量的意识。

一、在知识的构建过程中，让学生体会向量的工具性特点，感受向量方法的简洁性

【例1】利用向量知识来推导点到直线的距离公式。

当B=0时，可直接用图形证明（略）。

评注：引导学生对比传统证明方法，他们会发现向量法避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性。所以笔者认为先从学生熟悉的平面几何问题入手，充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。

二、在平时的解题思维训练中，让学生发现用向量法的思路清晰与运算过程简洁的优越性

【例2】已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求的最大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。又因为，点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，所以且

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。所以，笔者认为在教学中应注重引导学生善于运用一些结论，如线段的长度可看作向量的模等。对于这些结论，我们教师要引导学生归纳总结，使学生感受到向量法的思路清晰与运算过程简洁的优越性。

三、在高考试题的再现中，让学生感受向量法是高考命题的热点，应用向量法的重要性

【例3】（2016江苏高考18题）在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆及其上一点A（2，4）。

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围。

分析：第（1）（2）略；第（3）问，方法1：从向量“形”的方面着手，由为此，在圆M上存在两点满足条件，因此由，得出，当T确定后，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为即可。方法2：从向量“数”的方面着手，利用平面向量的运算知识把坐标化，转化成圆与圆的位置关系。

解：（1）（2）略。

点评：我们教师可以通过最新的2016年江苏高考的真题再现，促使学生发现向量法是高考命题的热点，发现用向量法处理此题可以“减少运算量，提高思维量”，感受应用向量法的重要性和应用向量法解决解析几何问题的优越性，促使学生树立应用向量的意识。

由以上几个例子可以看出，解析几何的题目可以用向量法来探寻解题思路，特别是涉及平行垂直时用向量解决解析几何题。所以我们在解决解析几何题时要时刻树立应用向量的意识，争取早日使向量成为处理解析几何问题的基本工具。