算法多样化的思考与实践

浙江省义乌市江滨小学 杨凯明

算法多样化的思考与实践

浙江省义乌市江滨小学 杨凯明

小学数学改革的重要目标是改变学生数学学习的方式。在数学教学中，引导学生积极开展“算法多样化”的活动，积极鼓励不同学生采取不同的解决问题的策略，为学生提供数学交流的机会，有利于促进学生的数学思维活动,提高数学思维能力。由于积极提倡算法多样化，不同的学生常常有不同的解题策略，让学生运用自己的方法解决问题，使学生对解决数学问题有更深切的体会。算法多样化是《数学课程标准》所倡导的新理念，它要求学生在研究数的基本运算方法的同时，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，达到发展思维、培养创新精神的目的。这也意味着计算教学的改革，意味着课堂教学中把思考还给学生，意味着学生学习方式的转变。

一、计算方法推导的多样化

以分数除法计算法则的推导为例。

1.依据“归一问题”的解题思路

师：从下面的情境图中你能得到哪些数学信息？

生：淘气一共骑了9千米。

师：非常了不起，从分数的意义解释出了小时行9千米的含义。那么淘气1小时行多少千米？请你列出算式。

生：我是画图算出来的。

师：你们都很有想法，推导的过程非常清晰，真棒！其实分数除法的计算方法就是这样推导出来的，9÷=9÷3×4=9××4=9×。

师小结：其实除以一个数就等于乘上这个数的倒数。

【评析：学生根据路程、时间与速度之间的关系，列出算式9÷后，教师着重启发学生搞清“小时行9千米”的含义，通过线段图，学生很容易想到，只要先求出3份中的1份是多少，再求4份是多少，即9÷3×4，进一步推导出分数除法的计算方法是除以一个数等于乘上这个数的倒数。所以，推导过程与笔算过程及实际应用的心算一致。】

2.依据除法的运算意义

师：同学们，前面我们已经学习了分数乘法，回忆一下分数乘法的计算法则是什么？

生：分子与分子相乘，分母与分母相乘。

生：那如果分子、分母不能整除怎么办？

师：这位同学很会思考，这是一个很有价值的问题。我们一起来探究一下，我们可以举个分子、分母不能整除的例子，比如说，同学们试试看？

师：也就是说，我们还是可以用分子除以分子，分母除以分母的方法计算？

生：老师，我有个疑问，刚才这个算式中两个分数的分母是相同的，相除分母就是1，那如果分母不相同呢？

生：可以通分。

【评析：通过复习乘法，重温乘法计算法则，利用除法是乘法的逆运算，用特殊的数据诱导学生想到“反其道而行之”，即“分子与分子相除，分母与分母相除”。在学生尝试解决时自然会产生疑问：分子、分母不能整除怎么办？此时顺势设计两道“过渡题”让学生尝试，至此，分数除法的“另类”算法“先通分，再分子相除”已经出来了。教师欲归结为常规算法也很简单，只要引导学生将改写成，分数除法的算法同样一目了然。】

3.依据商不变的规律

师：请你快速口算出下列各题，你发现了什么？

生：互为倒数的两个数的乘积等于1。

生：除数是1的，商等于被除数。

【评析】在口算练习中，教师有意识安排几道“积是1”、“除数是1”的乘除法的计算题，深化“除数是1的，商等于被除数”的道理。引导学生思考“除数不是1，有办法把除数转化成1吗？”运用除法的基本性质把除数转化为1，使商不变，完成推导。

4.依据等式的基本性质

【评析：这样推导的列式基于“逆运算”，推导的依据是“等式的基本性质”，便于统一解决某些实际问题的思路。】

二、计算方法的多样化

《数学课标（实验稿）》在第一学段“内容标准”中说：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”在第一学段“教学建议”中再次指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”但是，如果教师对算法只求数量上的“多”，并不考虑思维水平是否有提升，浮于形式和表面，学生喜欢哪种算法就用哪种算法，让学生自己选择，实际的教学效果往往不理想。

以20以内退位减法为例，选取教学“14-9”片段。

师：婷婷、明明和小兰三个好朋友正在玩套圈游戏，要知道“有几个圈没套中”，该用什么方法计算呢？

生：14-9。

师：14减9等于多少呢？你是怎样想的？借助你手边的学具验证一下你的想法是否正确，再跟你同桌的小朋友说一说你的想法。

（学生活动，讨论）

生1：因为9+5=14，所以14-9=5。

生2：14-4=10，10-5=5。

提问：为什么要用14先减4？减去4后还要减几？你怎么知道的？（课件演示拿走小棒的过程）

师：有不同的想法吗？

生3：10－9=1，4＋1=5。

提问：10是哪来的？为什么要用10-9？（课件演示拿走小棒的过程）

生4：14-10＝4，4+1＝5。

提问：为什么要用14－10？10从哪来的？减了10后为什么要加1？

师：还有其他方法吗？

生5：一个一个的减，14-1-1-1-1-1-1-1-1-1=5。

师小结：刚才同学们运用了这么多方法算出了14-9的得数，有“数数法”，有“做减想加法”，有“破十法”，“平十法”，“多减加补法”，真了不起！现在请你选择你喜欢的方法算一算16-7的得数。

【评析：学生通过操作、思考等方式想出了5种算法，其实只要给学生1捆4根小棒，让他们从中拿走9根，学生自发想到的操作方法基本上可以归结为“破十法”和“平十法”这两种算法，也就是说，它们是学生通过操作能够自己得出的计算方法。然而，无论是“破十法”还是“平十法”，“多减加补法”，都要三步（先拆数，再两步口算）才能完成，学困生难以内化，一时难以真正掌握。老师们通过实践、比较，发现还是“做减想加法”更适合这部分学生。 教学过程中对9+（ ）=14的题型做一些专项练习，熟练后，再来学习20以内退位减法，问题就迎刃而解了。】

“一个一个的减，14-1-1-1-1-1-1-1-1-1=5”这种算法很少有学生会真正采用，在教师“还有什么方法”的一再追问下，挖空心思想出的方法，对于学生的思维发展没有任何好处，且浪费了更多的教学时间。

14-9的另外还有两种算法：从14一个一个倒数法；把减数看成10转化，14-9=（14+1）-（9+1）=15-10（自发地运用了“被减数、减数增加相同的数，差不变”的规律）等等。

选择不同算法需要跟进不同的辅助练习。例如，“破十法”的辅助练习：

14-9=（ ）。

想：把14分成（ ）和（ ），

10-9=（ ） ， （ ）+4=（ ） 。再如：用想加算减的方法，就需要教师适当延长20以内进位加法的练习时间，以学生看到a+( )=b能很快做出正确反应为学习的基础。

三、算法表征的多样化

以一位数乘两位数为例。

显然，以上种种都只是同一种算法的不同表现形式。

“多样化”源于学生的个体差异。因为诸多因素的影响，数学学习常常是富有个性的，“多样化”正是基于这种差异性，让学生尝试用自己的方式从不同角度解决问题，促进学生积极思考、自主探索。但不能一味求多，竭力去思考那些低价值、原始的方法，这种为多而多的做法违背了“多样化”，方法多些没什么不好，就是不能把追求多种算法作为教学目的。一句话：要淡化形式，注重实质。要注意“多样化”是否能解决问题，“多样化”是不是学生自己独立思考的结果。

[1]曹培英.小学数学计算教学若干问题的思考与实践.小学数学教师，2012（3）-（4）.