曲线齿线圆柱齿轮啮合数学模型

李 琴， 张 祺，2

(1.攀枝花学院 机械工程学院， 四川 攀枝花617000; 2.四川大学 制造科学与工程学院， 四川 成都 610065)

曲线齿线圆柱齿轮啮合数学模型

李 琴1， 张 祺1，2

(1.攀枝花学院 机械工程学院， 四川 攀枝花617000; 2.四川大学 制造科学与工程学院， 四川 成都 610065)

参照圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程的推导方法以及齿面组成特点，介绍了一类曲线齿线圆柱齿轮的齿面组成特点.采用齿轮啮合原理中的单参数曲面包络方法，运用坐标变换推导了曲线齿线圆柱齿轮的数学方程和共轭齿面方程的一般形式.以圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程推导为例，推导了圆弧齿线圆柱齿轮的空间啮合数学模型，并采用UG建模软件建立了圆弧齿线圆柱齿轮的3D模型，验证了该方法的正确性.研究结果为进一步开展新型齿线的设计、新型曲线齿线圆柱齿轮传动研究提供了理论基础.

曲线齿线圆柱齿轮； 齿面方程； 包络； 圆弧齿线圆柱齿轮

齿轮是工业关键基础零部件，齿轮传动是最常用的传动形式之一.对新型齿轮的研究，主要是针对其齿线的改进和新齿廓的设计.齿线和齿廓的研究，均具有重要的理论和工程价值.

在曲线齿线圆柱齿轮的研究中，国内外许多学者已做了十分有意义的工作.王少江和肖华军等[1-2]通过圆弧齿线圆柱齿轮的研究，发现圆弧齿线圆柱齿轮具有接触线较长、齿线关于中截面对称、传动平稳、承载能力高、润滑性能好和无轴向分力等优点.吴伟伟和宋爱平等[3-6]对弧齿圆柱齿轮的齿面方程、啮合机理进行了研究，并提出了一种弧齿圆柱齿轮平动加工装置[7].狄玉涛和陈明等[8-9]对圆弧齿线圆柱齿轮的承载接触进行了研究.Tseng等[10-12]采用坐标变换法推导了弧齿圆柱齿轮的齿面方程并分析了其接触特征.苏进展和方宗德等[13]在推导三次样条齿线圆柱齿轮数学模型的基础上，开展了三次样条齿线圆柱齿轮数控滚切加工研究和齿面几何接触分析.虽然在各种曲线齿线圆柱齿轮的研究中，对圆弧齿轮齿线的研究最为广泛；但是，在一定的条件下，可考虑采用正弦机构、椭圆机构或者双曲线机构来研究开发新型的曲线齿线圆柱齿轮.

本文参考圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程的齿面组成特点和推导方法，介绍了一类曲线齿线圆柱齿轮的齿面组成特点；并根据齿面组成特点，运用微分几何的坐标变换法和包络法推导了曲线齿线圆柱齿轮的齿面方程.以圆弧齿线圆柱齿轮的齿面推导为算例，验证了该推导方法的正确性.按照本文推导思路，可以得到各种不同的齿廓沿基圆齿线平行运动形成的齿面.

1 曲线齿线圆柱齿轮的几何描述

本文讨论的曲线齿线圆柱齿轮具有以下几何特征：1) 曲线齿线圆柱齿轮的基圆齿线是一条光滑的简单空间曲线；2) 曲线齿线圆柱齿轮的基圆齿线落在基圆圆柱面上；3) 曲线齿线圆柱齿轮的齿面由齿廓沿基圆齿线平行运动形成；4) 曲线齿线圆柱齿轮沿任意与端面平行的截面齿廓形状相同.

图1 曲线齿线圆柱齿轮齿面与齿线展开曲线Fig.1 Tooth surface and tooth trace curve of cylindrical gear with curvilinear shape

基圆齿线C1落在基圆圆柱面上，取沿轴OZ1方向的参数Z1为基圆齿线方程的表示参数，则基圆齿线C1的方程可表示为

(1)

(2)

(3)

于是M(XC1，YC1，ZC1)与M1(0，y1，z1)的坐标的对应关系可表示为

(4)

2 齿面方程

在坐标系S1(O1-X1Y1Z1)中，平面X1O1Y1即轮齿形成的齿廓曲线T1，齿面∑可以认为是由某一平行于端面的截面齿廓T沿基圆圆柱齿线C1做平动运动形成的.如图2所示，建立坐标系Sh(Oh-XhYhZh)，Zh轴与Z1轴同向，平面XhOhYh与平面X1O1Y1相距h，OhXh与基圆齿线相交于Lh点.Xh轴与X1轴相比，绕Zh轴与Z1轴转过方位角β.

图2 曲线齿线圆柱齿轮坐标系设置Fig.2 Coordinate system settings of cylindrical gear with curvilinear shape

图3所示为任意与X1O1Y1平行的平面XOY与齿轮形成的截面，其中OX与基圆齿线相交于L点.根据端面齿廓的不同，截面齿面齿廓T也将呈现不同的形状，拥有不同的截面齿廓方程.若齿廓方程采用参数表示法，选取极角θ作为齿廓曲线参数，则齿廓方程在S(O-XYZ)内可以表示为

(5)

图3 任意截面齿廓Fig.3 Profile of any section

由式(5)可知，与平面X1O1Y1相距h的平面XhOhYh与轮齿形成的截面齿廓Th的方程可以表示为

(6)

由齿轮啮合的一般原理[14-15]可知，式(5)或式(6)通过坐标变换即可求出齿面∑1的方程，即

R1=M1hRh，

(7)

式中M1h为由坐标系Sh(Oh-XhYhZh)到坐标系S1(O1-X1Y1Z1)的坐标变换矩阵，

(8)

式中βh为X1轴绕Zh(Z1)轴转到Xh轴的方位角.

图4 沿Z1(Zh)方向的投影几何关系Fig.4 Projection geometry relationship along the Z1(Zh) direction

若β为任意截面XOY中OX轴与O1X1轴的夹角，则有

(10)

3 共轭齿面方程

在第2节中推导了齿轮(Ⅰ)的齿面方程∑1，在实际齿轮啮合过程中，总是一对齿轮满足啮合条件进行传动.由文献[14-16]可知，当知道一对齿轮的一个齿轮的齿面方程时，有多种方法可以求得其共轭齿面方程，其中较常用的有运动学法和包络法.运动学法是根据齿轮啮合关系式n·v(12)=0进行推导的，而包络法则是一种数学解法：当齿面∑1随齿轮(Ⅰ)以参数φ1转动时，将会形成曲面族∑φ，而齿轮(Ⅱ)上的齿面∑与曲面族∑φ中的曲面都是相切接触的，故齿面∑2就是曲面族∑φ的包络面.

3.1 曲面族方程

图5 曲线齿线圆柱齿轮啮合坐标系设置Fig.5 Meshing coordinate system settings of cylindrical gear with curvilinear shape

由式(10)可知，方位角β是截面Z1=h的函数，即

β=β(h)，

(11)

由坐标变换式(7)可知

R1=R1(θ，β)=R1(θ，h).

(12)

由齿面∑1在坐标系S1(O1-X1Y1Z1)中的方程，通过坐标变换即可求出齿面∑1在运动参数φ1，φ2下曲面族∑φ在坐标系S2(O2-X2Y2Z2)中的表示，参数φ1，φ2的关系为[14-15]

(13)

式中i12是齿轮(I)与齿轮(II)之间的传动比，i12=ω1/ω2.曲面族∑φ的表达式可写为

R2=M21R1=M2gMgpMp1R1，

(14)

式中M2g，Mgp，Mp1为坐标变换矩阵，且有：

(15)

(16)

(17)

由式(15)至式(17)可得，变换矩阵M21为

(18)

M21的逆矩阵M12为

(19)

3.2 包络共轭齿面方程的形成

在3.1节中通过坐标变换的方法将齿面∑1形成的曲面族∑φ的方程表示为式(14)，由包络条件即可求得齿面∑2的方程为

(20)

或

(21)

4 算 例

以文献[3-7]中提到的圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程和啮合方程的推导为例，验证上述齿面方程推导过程的适用性.文献[3-7]中的圆弧齿线圆柱齿轮为本文所述曲线齿线圆柱齿轮的一个特例.在圆弧齿线圆柱齿轮中，齿线为圆弧，齿廓为渐开线.在圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程的推导过程中，坐标系和各点的设置与曲线齿线圆柱齿轮的设置一致，坐标系和变量均在下标的最后一位加“C”表示.

如图6所示为圆弧齿线圆柱齿轮及其基圆齿线展开线的示意图.在右侧示意图中，基圆圆弧齿线的半径为RTC.根据第1节中的推导，圆弧曲线C1C在展开平面y1CL1Cz1C中的方程为

(22)

若取z1C=h为参数，表示为参数方程的形式，则

(23)

图6 圆弧齿线圆柱齿轮及其基圆齿线展开线Fig.6 Arc cylindrical gear and its base circle tooth line evolute

4.1 圆弧齿线渐开线齿廓圆柱齿轮齿面方程

由式(23)，当取截面z1C=hC时，由式(3)可以得出

(24)

由图1和图2中的几何关系可知，ψC和式(8)中提到的方位角βC为同一个角，即βC=ψC.

z1C=hC为截面时，齿廓渐开线在平面xhCOhCyhC中的几何关系如图7所示.

图7 齿廓渐开线的几何关系Fig.7 Geometry relationship of tooth profile involute

由图7，渐开线在xhCOhCyhC中的方程为

(25)

由变换矩阵Mh1C和变换式

r1C=M1hCrhC，

(26)

可得齿轮(Ⅰ)的齿面∑1C的方程为

(27)

4.2 圆弧齿线圆柱齿轮共轭齿面方程

由式(18)所示的变换矩阵,可知

(28)

通过坐标变换式(29)，求曲面∑1C在与齿轮(Ⅱ)固联的坐标系中形成的曲面族∑φC.

r2C=M21Cr1C.

(29)

由式(27)，(28)和(29)可得，曲面族∑φC的方程为

(30)

式中φ1C，φ2C中只有一个是独立的，满足关系式(13).在圆弧齿线圆柱齿轮中，由于传动比固定，可得

i12C=ω1C/ω2C=φ1C/φ2C.

(31)

式(30)即为曲面族∑φC在与齿轮(II)固连坐标系中的表示，把式(24)，(31)代入式(30)，方程可写为

(32)

记Π1=αC+βC+(1+1/i12C)φ1C，Π2=(1/i12C)φ1C，Q=1+1/i12C，i12C=i21C.由式(20)，(21)和(32)知：

(33)

(35)

由式(32)至(35)和式(20)及(21)可知圆弧齿线圆柱齿轮副齿轮(Ⅱ)的齿面∑2C的方程为

(36)

其中，包络条件可表示为

RbCQ-Ai21Ccos(αC+βC+φ1C)=0.

(37)

联立式(32)与式(37)，消去运动包络参数φ1C，即可得圆弧齿线圆柱齿轮副齿轮(Ⅱ)的齿面∑2C的方程.

4.3 齿面方程对比

[3]和[5]中，坐标系的设置与本文算例的坐标轴方向设置一致，且同样满足本文第1节中阐述的4个基本特征.将本文中式(27)表示的圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程与文献[3]中的式(4)进行对比，可发现齿面方程推导一致；与文献[5]中的式(1)进行对比，可发现齿面方程推导基本一致，唯一区别在于：本文式(27)中的αC在文献[5]式(1)中表示为“α1-θ1”(其中θ1为常数且θ1=0.015rad).经由以上对比可发现本文所述方法的推导结果与现有结果一致.

4.4 齿轮建模实例

以第4节中的圆弧齿线圆柱齿轮为建模实例进行建模，建模参数如表1所示.

表1 圆弧齿线圆柱齿轮建模参数

在UG中对参数为表1数值的齿轮进行建模，所建模型如图8.

图8 圆弧齿线圆柱齿轮3D模型Fig.8 3D model of arc cylindrical gear

将齿轮从端面、中间截面和两者的中间截开，并进行观察，可发现齿轮每一个截面的2条齿廓均是渐开线，如图9(a)、(b)、(c)所示.

图9 圆弧齿线圆柱齿轮的各截面示意图Fig.9 The different cross sections diagram of arc cylindrical gear

5 结 论

本文阐述了曲线齿线圆柱齿轮的概念和齿面组成特点，并根据坐标变换和微分几何的方法，给出了曲线齿线圆柱齿轮齿面方程的一般推导方法.

以圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程的推导为例，推导了圆弧齿线圆柱齿轮空间啮合数学模型，对圆弧齿线圆柱齿轮进行了建模并分析了各个截面的形状，验证了曲线齿线圆柱齿轮齿面方程推导方法的正确性.本文的结果对于新型齿线圆柱齿轮的设计、齿面方程的推导和加工等研究提供了理论基础.

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Meshing mathematical model of cylindrical gear with curvilinear shape

LI Qin1， ZHANG Qi1，2

(1.School of Mechanical Engineering， Panzhihua University， Panzhihua 617000, China；2.School of Manufacturing Science and Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065, China)

According to the tooth surface equation of arc cylindrical gear and the characteristic of tooth surface composition， the tooth composition characteristics of a class of cylindrical gear with curvilinear shape were presented. One-parameter surface enveloping method in gear meshing principle was used， and the general mathematical equations and conjugate tooth surface equation were deduced by coordinate transformation. Taking the tooth surface equation derivation of arc cylindrical gear as an example， the space meshing mathematical model of arc cylindrical gear was derived. In order to validate the correctness of this method， the three-dimensional model of arc cylindrical gear was established by UG software. The study results offer theoretical supports for new tooth line design and studies on new cylindrical gear with curvilinear shape．

cylindrical gear with curvilinear shape; tooth surface equation; envelope; arc cylindrical gear

2016-05-04.

本刊网址·在线期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

国家自然科学基金资助项目(51375320).

李琴(1977—),女，四川成都人，副教授，硕士，从事机电一体化、先进制造技术等研究，E-mail:liqin103@126.com. http://orcid.org//0000-0002-4043-3877

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.06.008

TH 132

A

1006-754X(2016)06-0571-07