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基于Theil不等系数和广义诱导算子的组合预测

2017-01-04王玉梅

大庆师范学院学报 2016年6期
关键词:广义算子诱导

王玉梅,张 艳

(安徽财经大学 统计与应用数学学院,安徽 蚌埠233000)

基于Theil不等系数和广义诱导算子的组合预测

王玉梅,张 艳

(安徽财经大学 统计与应用数学学院,安徽 蚌埠233000)

Theil不等系数极小化组合预测方法是基于相关性的组合预测方法的一种,把Theil不等系数及广义诱导有序加权平均算子结合起来,介绍了基于Theil不等系数及几种诱导算子相关的概念,并建立了基于Theil不等系数及几种诱导算子的最优组合预测模型,研究了最优组合预测模型的相关性质及模型有效性的评价方法。

Theil不等系数;广义诱导算子;组合预测;优性组合预测

0 引言

我们对社会经济系统进行预测时可能会利用某一单项预测方法,而社会系统经济系统通常是由各种相互联系、制约的因素组成。某单项预测方法只能从某一特定角度提供相对有效的信息,这样信息源就缺乏广泛性。又因为各单项预测方法之间又是相互联系、相互补充的。我们要充分利用各种单项预测方法建立合理的组合预测模型来提高拟合精度和预测能力。最初的组合预测模型只能在一定程度上改善拟合误差,后来的组合预测模型中增加了权重的影响,但权数只与单项预测方法有关,而与时间序列无关。为了能根据不同时间点上的精度进行合理赋权,本文介绍了基于 Theil 不等系数及诱导算子的组合预测模型,该模型并不是直接考虑预测误差的大小,而是从Theil不等系数的角度进行组合预测方法的研究,结合 IOWA, IOWGA,IOWHA三种诱导算子,建立组合预测模型,并分析各模型性质。

有关组合预测的研究,国内外学者利用许多模型定量的对相关问题进行了探讨。Bates 和 Granger在1969年第一次提出了组合预测的概念。就是充分利用各单项预测方法所得到的各种有效信息,对每种单项预测方法赋予适当的权重,利用合理的加权平均形式建立组合预测模型从而提高预测精度,因此受到国内外学者的高度重视[1-12]。2002年,王应明介绍了四种基于相关性的组合预测方法:关联度极大化、相关系数极大化、夹角余弦极大化和Theil不等系数极小化组合预测方法。2003年,陈华友,刘春林在有序加权平均算子的基础上,以误差平方和最小为目标函数研究了IOWA算子的组合预测方法。2004年,陈华友,刘春林,盛昭瀚对Theil不等系数的相关性质以及IOWHA算子的相关应用做了分析。2005年,陈华友,盛昭瀚提出了诱导有序几何加权平均(IOWGA)算子,并给出了权数确定的数学规划方法。2010年,周礼刚,陈华友,丁子千,艾全达定义了优性组合预测和非劣性组合预测并通税收收入的预测实例验证了其有效性与合理性。2011年,刘家军,王明军,薛美娟,李洪岩,陈华友将Theil不等系数分别与IOWHA算子和IOWA算子结合建立组合预测模型,并进行相关实证研究,得到优性组合预测模型。

综上所述,有关组合预测模型的研究中,大部分集中在某相关性预测方法和某种算子结合在一起来建立组合预测模型。本文把Theil不等系数及诱导算子结合起来,提出了基于Theil不等系数及几种不同的诱导算子的最优组合预测模型,并研究了最优组合预测模型的相关性质。

1 Theil不等系数

2 广义诱导算子的定义

根据计算均值的三种方法诱导算子也可以分为三种:诱导有序加权算术平均算子(IOWA)、诱导有序加权调和平均算子(IOWHA)、诱导有序加权几何平均算子(IOWGA)。

当L=(1,0,…,0)T时,广义有序加权平均的几种算子化简为max算子,即fL(b1,b2,…,bm)=max1≤i≤mbi;

当L=(0,…,0,1)T时,广义有序加权平均的几种算子化简为min算子,即fL(b1,b2,…,bm)=max1≤i≤mbi;

3 基于Theil不等系数与广义诱导算子的最优组合预测模型

基于有序加权平均三种算子的组合预测模型中的权数只与单项预测方法有关,而与时间序列无关。为了能根据不同时间点上的精度进行合理赋权,本文介绍了基于 Theil 不等系数及广义诱导有序加权平均算子的组合预测模型。

定义3 令

其中bti是t时刻第i种单项预测方法的预测精度。bti满足bti∈[0,1],bti是拟合值(预测值)Xti的诱导值,这样m种预测方法在t时刻的预测精度序列(bt1,bt2,…,btm)和其在样本区间内对应的预测值序列(Xt1,Xt2,…,Xtm)就组成m个二维数组〈bt1,Xt1〉,〈bt2,Xt2〉,…,〈btm,Xtm〉。令b-index(ti)是(bt1,bt2,…,btm)中按从大到小的顺序排列的第i个大的预测精度的下标,令

定义4.1(预测误差)

定义4.2(预测倒数误差)

定义4.3(预测对数误差)

则cti是t时刻第i种单项预测的实际值和对应的拟合值间的对数误差,ct则是组合预测在t时刻的实际值和对应的拟合值间的对数误差。

令cb-index(ti)=LnXt-LnXb-index(ti)则联立方程

根据Theil不等系数的定义,下面对基于Theil不等系数和广义诱导有序加权平均算子建立组合预测模型:

所以基于广义诱导有序加权平均算子的Theil不等系数可以写成:

第(1)种情况表示定义5中的组合预测模型为优性组合预测,第(2)种情况表示非劣性组合预测,第(3)种情况表示劣性组合预测。因此当且仅当广义诱导算子组合预测方法拟合值的对应序列和实际值的对应序列的Theil不等系数小于各单项预测中Theil不等系数的最小者,合预测模型才是优性组合预测。

4 基于Theil不等系数与广义诱导算子的组合预测模型的性质

引理1 设由m种预测方法在t时刻的预测精度序列bt1,bt2,…,btm产生的广义诱导算子的预测误差向量Ci=[cb-index(1i),cb-index(2i),…,cb-index(ni)]T。

证明:∵Ci=[cb-index(1i),cb-index(2i),…,cb-index(ni)]T

令A=(C1,C2,…,Cm),则ATA=C∴CT=C,令Y=(y1,y2,…,ym)T。若Y≠0,则AY≠0;否则,至少存在一个不为零的数yi,使AY=0,这与C1,C2,…,Cm线性无关相矛盾。所以Y≠0,此时二次型为YTCY=YTATAY=(AY)TAY>0,即二次型正定,所以广义诱导算子的组合预测误差信息矩阵C是正定矩阵。

证明:因为实际值对应序列给定后分母就是固定不变的常数项,所以构造拉格朗日函数:

F(L,λ)=LTCL-λ(RTL-1)

定理3简单平均组合预测方法至少是非劣性的。

又因为在t时刻的最大预测精度为xb-index(ti),而xb-index(t1)不是恒为最大的预测精度,对于∀t∈{1,2,…,n},根据定义3得:

所以

5 组合预测的效果评价

6 结束语

将Theil不等系数和广义诱导有序加权平均算子相结合,提出了基于Theil不等系数的广义诱导有序加权平均算子最优组合预测模型,并对组合预测模型的性质进行探讨。另外,对基于Theil不等系数的广义诱导算子最优组合预测模型的理论问题如优性组合预测、非劣性组合预测的存在性以及预测效果的判定等问题进行了介绍。

[1]BatesJM,GrangerCWJ.Combinationofforecasts[J].OperrationsResearchQuarterly,1969,20(4):451-468.

[2]GuerardJB,ClemenRT.CollinearityandtheuseoflatentrootregressionforcombiningGNPforecasts[J].JournalofForecasting,1989,8(3):231-238.

[3]BischoffCW.Thecombinationofmacroeconomicforecasts[J].JournalofForecasting,1989,8(3):293-314.

[4] 王应明.基于相关性的组合预测方法研究[J].预测,2002,(2):85-62.

[5] 陈华友,刘春林.基于IOWA算子的组合预测方法[J].预测,2003(6):61-65.

[6] 陈华友.基于Theil不等系数的组合预测模型的性质[J].电子科技大学学报,2004,33(1):105-108.

[7] 陈华友,刘春林,盛昭瀚.IOWHA算子及其在组合预测中的应用[J].中国管理科学,2004,12(5):35-40.

[8] 陈华友,盛昭瀚.一类基于IOWGA算子的组合预测新方法[J].管理工程学报,2005(4):36-39.

[9] 李洪岩,陈华友.基于Theil不等系数的IOWHA算子组合预测模型及其应用[J].数学的实践与认识,2011,41(11):105-112.

[10] 刘家军,王明军,薛美娟,等.基于Theil不等系数的IOWA算子和马尔科夫链的电量组合模型研究[J].电力系统保护与控制,2011,39(19):30-37.

[11] 周礼刚,陈华友,丁子千,等.基于Theil不等系数的IOWGA算子组合预测模型[J].安徽大学学报(自然科学版),2010,34(1):1-6.

[12] 唐小我,曹长修,金德运.组合预测最优加权系数向量的进一步研究[J].预测方法研究,1994(2):48-49.

[责任编辑:崔海瑛]

(英文摘要略)

November,2016

Based on the Theil coefficient and generalized induced operator's combination forecast

WANGYu-MeiZHANGYan

(DepartmentofStatistics,AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu233000,China)

王玉梅(1965-),女,山东烟台人,教授,从事经济统计分析研究。

O221.1

A

2095-0063(2016)06-0054-07

2016-04-08

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.012

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