基于旋转液体特性实验的激光双次反射法测重力加速度

张中府，咸会远，李汉林，王爱芳，刘 芬

(山东大学(威海)，山东 威海 264209)

基于旋转液体特性实验的激光双次反射法测重力加速度

张中府，咸会远，李汉林，王爱芳，刘 芬*

(山东大学(威海)，山东 威海 264209)

旋转液体特性实验是大学物理实验中典型的综合实验项目，本文利用激光束在旋转液体表面的双次反射时的特性，确定了测量重力加速度的新方法。通过对比实验发现，本设计减少了原有单次激光反射测量重力加速度时的物理量数目，并有效提高了测量结果的精确度。

旋转液体特性；反射激光法

旋转液体现象以其直观性、生动性激发学生实验兴趣,是一个既古老又现代的实验项目。早在力学创建之初，就有牛顿的水桶实验。直至现今，在国外的一些研究性物理实验中，对旋转液体抛物面形状的研究仍然是广泛而重要的课题之一。本实验应用激光技术测量旋转液体的液面形状，并根据液体的旋转速度和激光反射位置等物理量，获得本地的重力加速度。目前在使用激光测重力加速度实验中发现当液体的转动频率较小时，激光入射和反射光束夹角θ满足关系式tanθ∝1/T2(T为液体旋转周期)[1-2],而当水桶旋转周期超过某一临界值时，上述关系式不再成立。本文就是以此为出发点进一步对这个临界点频率及其超过这个频率后的光束路径进行了详细讨论。

1 实验原理

1.1 基本原理

图1和图2为旋转液体的轴截面图，液体跟随一个半径为R、绕其中心轴Oy旋转的圆桶一起以角速度ω旋转。图1中水平虚线为液体未旋转时的静止液面高度h0。考虑位于液面上的一个质元，当其处于平衡时，有Ncosθ=mg，Nsinθ=mxω2，其中θ为液面上该处的切线与x轴方向的夹角，由于表面张力相对其它力小得多，故可忽略。由此得：

(1)

图1 旋转液体液面上的一个质元的受力分析示意图

图2 激光束被一次反射时光路示意图

积分后得到(纵向剖面的)液体上表面的坐标(x,y)满足方程：

(2)其中，y0为x=0处的y值。设液面在x=x0处的高度y不随时间改变，液体在未旋转时液面高度为h0，则点(x0，h0)在方程(1)所示的抛物线上。所以

因液体的体积不随角速度变化，所以有

(4)

联立等式(3)和(4)可求得:

(5)

(6)

1.2 临界圆频率

当水桶转速逐渐增大时，液体上表面的弯曲度逐渐增大，当光线竖直入射时，如图3所示，入射光在抛物面可发生双次反射现象。与图2情况不同，此时关系式tanθ∝1/T2不再成立。而双次反射现象发生的临界点频率就是当一次反射光束恰好经过另一边的最高液面时(即图4)，所对应的旋转圆频率。

由图4可知，当x=R时，y达到最大值，即B点：

(7)

y1=h0

(8)

由几何关系知：

(9)

(10)

代入(9)式可得到临界圆频率

图3 激光束发生双次反射示意图

图4 激光束在临界频率旋转时的光路示意图

1.3 双次反射法

由以上推导过程可知，在临界频率前后，激光光路满足的物理规律不同。当频率小时，入射激光束只能发生一次反射，而当频率足够大时，其两次反射点会在抛物面上找到，从而会发生第二次反射。而由于液面是一个抛物面，且激光是竖直入射，根据费马原理，出射光会竖直射出。根据计算，会发现其反射后与反射前的两条竖直直线的距离恰好与重力加速度有关，所以本设计就利用了这一特点。设第一次反射后打到了抛物面上的点(L，yL)处，则由几何关系知

(11)

又由(3)，(5)知X=L时

(12)

联立(8)-(12)得

(13)

故在坐标纸上光点走过的距离

(14)

图5 测量旋转液体实验中双次反射光点位置

2 实验装置

RL-1型旋转液体特性实验仪器的主要构成如图6所示。

3 实验数据

3.1 临界角频率

图6 RL-1型旋转液体特性实验仪

实验中各物理参数值见表1。

表1 实验中各物理参数值

已知威海本地的重力加速度g=9.792 m/s2

(1)计算不确定度Utan2θ

结合表1中的结果可得，Utan2θ=0.014和相对不确定度Etan2θ=0.25%。

(2)计算tanθ的不确定度

(3)计算临界角频率ω的不确定度

本实验的实验误差主要是源于实验者以及电机频率不稳。

3.2 运用双次反射法求重力加速度

运用双次反射法实验测量结果见表2。

表2 双次反射法实验测量结果

图7 双次反射法所测L～ω-4实验结果

另外需要注意的是，实验中水量最好大于杯容量的二分之一,但也不可太多，以防旋转频率增大时溢出。因为如果水量过少，当转速足够高时，在杯底的中心部位会形成一处没有水的区域，从而不能构成完整的抛物面(见图8所示)，此时双次反射法将不适用。

图8 水量过少时光束反射示意图(虚线为理想情况，实线为实际情况)

4 结 论

本文理论推导了旋转液体实验中用激光竖直射入抛物面时发生双次反射的物理条件，分析了光束竖直射出时,重力加速度的计算公式并且用实验进行了验证。数据处理结果显示本方法测量过程更加简洁，测量的重力加速度值准确度高，因此对提升物理实验教学效果有实际意义。

[1] 王爱芳，杨田林.普通物理实验[M].青岛:中国海洋大学出版社,2007:79-81

[2] 王爱芳,刘芬.RL-1型旋转液体特性研究实验的改进方法[J].大学物理实验,2013,26,3.

Measuring the Acceleration of Gravity with Double Reflected Laser Beam Method Based on Rotating Liquid

ZHANG Zhong-fu,XIAN Hui-yuan,LI Han-lin,WANG Ai-fang,LIU Fen

(Shandong University (Weihai),Shandong Weihai 264209)

Rotating liquid research is one of typical comprehensive experimental project in collage physics experiments.In this paper,we propose one new method to measure the acceleration of gravity by using one double reflected laser beam.This design reduces the number of necessary physical quantities parameters and improves the accuracy of the experiment too.The reason is that as the liquid rotating at a high speed,the liquid parabola is more stable than a low rotating speed one.

characteristics of a rotating liquid；laser reflective method

2016-06-30

1007-2934(2016)06-0046-04

O 351.2；O 435.1

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.012

*通讯联系人