浅谈初中数学教学中的变式训练

宋小萍

在《义务教育阶段课程标准》中明确提出：使学生获得数学的“基本思想”和“基本活动经验”的目标，把“双基”扩展为“四基”。希望学生在义务教育阶段的数学学习中，除了获得必要的数学知识能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学活动经验。因此，要在教学过程中通过各种教学途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心，不断提高自主学习的能力。而强调在数学教学中实施变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

一、变式训练“为什么要变”

所谓数学变式训练，就是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过“变式训练”，可以激发学生的好奇心、求知欲和创造力，增加学生参与度，提高学生参与活动的兴趣和热情，从而产生意外生成、揭示知识的本质。通过变式训练，不仅使学生理解数学知识，更重要的是培养基本技能，让学生感悟数学思想和方法，积累数学活动经验，以提高学生的能力。

二、数学教学中变式训练“变什么”

1、变问题：一题多问，深化问题。教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。

【案例1】

在？ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上的一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3cm，求（1）S？ABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解S？ABC=40cm2；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图2，在？ABC中，∠B=C，点D是边BC上的任一点，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，垂足分别是E、F、H。求证：CH=DE+DF。

在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图3，在等边？ABC中，P是形内任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。

求证：PD+PE+PF是一个定值。

通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

2、变解法：一题多解，触类旁通。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

【案例2】如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？

（只剩一个底角和一条底边）

学生给出的三种“补出”方法：

（1）量出∠C度数，画出∠B=∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；

（2）作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；

（3）“对折”。

看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。

这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

3、变条件和变问题：一题多变，横向联想。通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。

【案例3】有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm。

要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点

分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？

变式1：将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？

变式2：一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案所示，乙设计方案如图所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）

三、数学教学中变式训练“变到什么程度”

1、变式的数量要“适度”。变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。因此，数学变式要正确把握变式的度，适度进行，适可而止。

2、变式的内容与难度要有“梯度”。变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。

【案例4】由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度。

变式1：已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？

变式2：已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个等腰直角三角形的直角边长为多少？

3、变式教学要提高学生的“参与度”。设计问题变式要注重一个“变”，不能简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，让每一个学生都能够参与到数学思考中来。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。