分数布朗运动的局部Strassen重对数律

刘永宏，李东升，李丰兵，姜淼

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林，541004；广西高校数据分析与计算重点实验室，广西 桂林，541004)

分数布朗运动的局部Strassen重对数律

刘永宏，李东升，李丰兵，姜淼

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林，541004；广西高校数据分析与计算重点实验室，广西 桂林，541004)

应用[1]中方法，研究了分数布朗运动局部Strassen重对数律，将[1]的结果推广到了分数布朗运动情形，也将[2]的结果推广到了局部情形。

分数;布朗运动；平稳增量；局部Strassen重对数律

1 引言与主要结果

布朗运动的Strassen重对数律是一个经典结果，这一结果被人们推广到各种情形，高付清和王清华研究了布朗运动增量的极限定理[3],后来人们又把布朗运动的结果推广到分数布朗运动， Monrad 和 Rootzen研究了分数布朗运动的钟重对数律[6]，王文胜[2]得到了分数布朗运动增量的极限定理， 林正炎等研究了分数布朗运动增量在Holder范数下的极限定理[4]。将这些结果推广到局部情形也是人们研究的课题。Gantert研究了布朗运动的局部Strassen重对数律，本文研究分数布朗运动的局部Strassen重对数律,我们的研究结果将Gantert的结果[1]推广到分数布朗运动情形,也将王文胜[2]的结果推广到了局部情形。

设{X(t):t≥0}是一个标准的α阶分数布朗运动具有X(0)=0和平稳增量，且0<α<1,那么{X(t):t≥0}有方差函数

其中{B(s):-∞

设C[0,1]={f:f为从[0,1]到R的连续函数},赋予上确界范数, 记

下面的定理是本文主要结果:

定理1 对u≥3,定义

(2)对每个f∈K,存在的子列{ξ1/un:n≥1}，使得ξ1/un→f(n→∞)。

2 定理的证明

为证定理，需要下面引理:

引理1 对u≥3， 定义

那么，对P-a.s.,有下面的性质:

(1){ηu:u≥3} 在C[0,1]中相对紧，且每个极限点在K中。

(2)对每个f∈K,存在的子列{ηun:n≥1}，使得ηun→f(n→∞)。

证明 参看[2]的推论3.1。

下面是定理1的证明

设T:W→W, 定义如下:

注意到T:W→W是等距映射，TH1:H1→H1是等距映射， 而且,P在T下是不变的。 容易计算证明‖Tw‖W=‖w‖W且‖Tf‖H1=‖f‖H1。 我们有

由引理1知{ηu(w)|u≥3}满足引理1中结论(1),(2)， 其中 {ηu(w)|u≥3}定义如下:

我们应用T的不变性质,故ξ1/u(w)=Tηu(w)满足定理1中的结论(1),(2), 至此定理1得证。

[1]N.Gantert.An inversion of Strassen’s law of the iterated logarithm for small time[J].The annals of Probability,1993,21(2):1045-1049.

[2]W Wang.On a functional limit result for increments of a fractional Brownian motion[J].Acta math.Hungar,2001,93(1-2):153-170.

[3]F Gao,Q Wang.The rate of convergence in the functional limit Theorem for increments of a Brownian motion[J].Statistics & probability letters.2005,73:165-177.

[4]Z Y Lin,W S Wang,K S Hwang.Functional limit theorems for d-dimensional FBM in Holder norm[J].Acta mathematica sinica,English series.2006,22(6):1767-1780.

[5]J Ortega.On the size of the increments of nonstationary Gaussian processes[J].Stochastic Processes and their Applications.1984,18;47-56.

[6]D Monrad,H Rootzen.Small values of Gaussian processes and functional laws of the iterated logarithm[J].Probability theory and related fields.1995,101;173-192.

Local Strassen’s law of the iterated logarithm for fractional Brownian motion

LIU Yonghong,LI Dongsheng,LI Fengbing,JIANG Miao

(School of Mathematics and Computing Science,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004, China；Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation, Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

Using the method in [1],local Strassen’s law of the iterated logarithm for fractional Brownian motion is investigated.The result in [1]is extended to the case of fractional Brownian motion,the result in [2]is also extended to local case.

fractional;brownian motion;stationary increments;local Strassen’s law of the iterated logarithm

1672-7010(2016)04-0019-03

2016-09-20

广西教育厅高校科研基金资助项目(YB2014117)；国家自然科学基金资助项目(11661025)；大学生创新项目资助(201510595198)；国家社科基金资助项目(16XTJ002)

刘永宏(1964- )，男，湖北松滋人，教授，博士，从事概率论极限理论研究

O211.4

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