不动点定理在微分方程中的应用

谭东杰

【摘 要】文章在论述不动点定理这一结论的基础之上，着重研究了运用Banach压缩映射的原理去证明Picard以及Schauder不动点两个定理，同时再进一步证明Peano解的存在性，继而再运用Banach压缩映射原理与Schauder定理一起综合去研究不动点定理在微分方程内的应用方法。

【关键词】不动点定理;Banach压缩映射原理;微分方程

引言

不动点定理在泛函分析中是一个非常重要的部分，在数学中能够用到很多不同类型的不动点定理，它们在自然科学研究中的应用十分的广泛。文献[1]内作者通过Picard的逐次迭代法去证明微分方程中初值解及其唯一性的定理;文献[2]内作者通过Schauder不动点定理以及不等式去证明积分方程的解及其唯一性;文献[3]内运用Banach不动点定理去简化Picard定理的证明过程，同时通过Leray?—Schauder不动点定理去说明不动点定理在微分方程的运用;文献[7]通过分析方法去讨论Banach压缩映像原理以及Schauder不动点定理二者在Picard解的唯一性以及Peano解的存在性定理在进行证明时的运用。

1不动点定理结论

所谓的不动点，其实是个函数的术语，其在数学里主要指被该函数映射到自身一个点。我们定义1为T：（X，ρ）（X，ρ）是一压缩映射，若是有0<α<1会使ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），（?x，y∈X）.

定理1.1：压缩映射原理，假设X为某一完善的度量空间，映射?：Χ→Χ 将每两个点之间的距离压缩λ倍，也就是d（?（x），?（y））≤λd（x，y），该处的λ为小于1的常数，则?肯定有且只有一个不动点，同时从Χ的任一点x0出发做出序列x1=f（x0），x2=f（x1），…，xn=f（xn-1），…，那么该序列必然会收敛到该不动点。此定理为证明很多种方程解的存在性以及惟一性、迭代解法的基础原理。

定理1.2：布劳威尔不动点定理：假设Χ为欧氏空间里的一个紧凸集，则Χ至自己的每一连续映射都会存在最少一个的不动点。运用该定理能够证明代数的基本原理，即复系数的代数方程必然会存在复数解。将布劳威尔定理内的欧氏空间变为巴拿赫空间，即为绍德尔不动点定理，这一定理通常在偏微分方程理论中。以上的定理都能从单值的映射扩展至集值映射，在微分方程理论以外还经常在对策论以及数理经济学的研究中应用。

定理1.3：莱夫谢茨不动点定理，假设Χ为一个紧多面体，?：Χ→Χ为映射，则?不动点的代数数量等于?的莱夫谢茨数L（?），其为一很方便计算的同伦不变量。当L（?）≠0的时候，和?同伦的每一映射均最少存在一个不动点，该定理对布劳威尔定理的基础上进行了发展。

定理1.4：假设为Banach空间X的一个非空紧凸集，T：M→M为一个连续映射，那么在中存在不动点。

2不动点定理的运用

这里主要研究的是2个原理，即 Banach压缩映射原理以及Schauder不动点定理。

2.1对Banach压缩映射原理的运用

针对一阶微分方程内的初值

（1）

有关其解的存在和唯一性，有以下Picard定理：

假设二元函数f（x，y）在矩形D={（x，y）||x-x0|≤a，|y-y0|≤b}中是连续的，同时y能够满足Lipschitz的条件，也就是有常数L>0，?（x，y），（x，y）∈D，有

那么问题（1）在区间中存在唯一的解，其中

证明：问题（1）等价于积分方程

（2）

令

那么为Banach空间的闭子空间，因此亦为完备的，同时映射所以， 为中的连续函数，也就是并且

因此另外，

由于因此T为重的压缩映射。故而，根据压缩映射原理，有唯一的使得也就是积分方程（2）存在唯一的解即为问题（1）在区间中存在唯一的解。

2.2 Schauder不动点定理的运用

主要是运用J Schauder在上世纪30年代给定的一个应用非常广的不动点定理，也就是Schauder不动点定理去证明Peano解的存在性， 其一直到现在仍然为研究非线性微分方程的解的存在性的主要工具。首先看常微分方程：

（3）

其中f：G→Rn，G?R×Rn如果设定（τ，ξ）∈G，（τ∈R，ξ∈Rn）那么方程求一个函数Φ（t）可以满足：

（4）

的问题可以叫做方程（3） 的Cauchy 问题， 而 Φ（ t ） 可以叫做Cauchy问题（4）的解。

定理3.1：Peano的解的存在性定理，假设函数f（x，t） 处于R×Rn内的闭区域G：|t-τ|≤a， 中是连续的， 那么Cauchy初值在区间I：|t-τ|≤h中至少会有解的存在，而此处

证明：（6）等价于积分方程的求解。

使 F： 具体可表示为：

很容易看出F为连续映象，令，当x∈C[τ-h，τ+h]

≤Mh

又

<ε

F（c）相对比较紧，因此F为全连续映象，且F（ ） ，按照Schauder定理， F在 Ω存在不动点，也就是说Cauchy问题（4）有解。

看非线性积分方程 此为一特殊的Hammerstein积分方程， 接下来证明其存在连续的解。

证明：定义映像为：

任意取ε>0存在σ>0，当||x1-x2||<σ时，有|cos（λx1（s）-cos（λx2（s））|<ε

因此

<ε

故而F为连续的。同时， 当x∈C[0，1]，有

.

并且

<ε

根据Arzela- Asco li定理，F为全连续映象。如果让，那么很明显F（） 。根据Schauder不动点定理，F在 中存在不动点，也就是说积分方程有连续解。

四、结论

不动点定理不但可以在微分方程以及积分方程内进行应用，还在代数方程解的存在以及唯一性证明中也起着发挥着非常重要的作用。总而言之，运用不动点原理去证明微分方程解的存在性十分简便，非常巧妙。

参考文献：

[1]李承治.常微分方程教程[M ].北京：高等教育出版社，2001.

[2]查淑玲，关文吉.积分方程局部解的存在唯一性[J].渭南师范学院学报，2007，22（2）： 15-16.

[3]余晓娟，钟太勇，李俊华.不动点定理在微分方程中的应用[J].四川理工学院学报：自然科学版，2008，21（3）：22-24.

[4]张恭庆，林源渠.泛函分析[M].北京： 北京大学出版社，1987.

[5]游兆永，龚怀云，徐宗本.非线性分析[M ].西安：西安交通大学出版社，1991.

[6]郭大钧.非线性泛函分析.2版[M].济南： 山东科学技术出版社，2001.

[7]杜珺.两类不动点原理在微分方程解的存在性中的应用[J].淮南师范学院学报，2008，10（49）：127-129.

[8]宋叔尼.张国伟.王晓敏.实变函数与泛函分析.北京：科学出版社，2007

[9]谭长明、龙丽：《不动点定理在方程解方面的应用》，《吉林师范大学学报》，2007，（1）：84-86.