“数”“形”结合是数学的核心思想和灵魂

◎吴宜朔

“数”“形”结合是数学的核心思想和灵魂

◎吴宜朔

数学是一门古老的学问，是人类进化史上的重要工具。其研究内容丰富、应用领域广泛。其中，数与形是数学研究领域中两个最古老、最基本的内容，它们相互转化、相互渗透、相互支撑。中学数学将研究对象分为数和形两部分，实际二者是密切交织和结合在一起的。有研究将数形结合作为一种数学思想方法和解题思路，更高程度上，数形结合是数学的核心思想和灵魂。因为它贯穿于数学的产生、发展过程中，渗透于数学的学习与应用中。

数学是因生产实践需要而早在远古时代就产生的古老的基础科学，其工具性和实用性特征显著，所以，被几乎所有学科和领域广泛使用；又因其极强抽象性和严密的逻辑性，在使用过程中，需借助图形、图像、图示等直观、简洁的形式呈现出来，将复杂问题简单化。

数学的产生于发展始终贯穿数形结合

人类最早用有形物体来计数。数学是研究事物数量关系和空间形式的学问。它起源于人类最早的用手指、脚趾或小石子、小木棍等计数方式，同时，在实践中对各种形状的物体如大、小、方、圆等，进行反复观察、比较与使用，逐渐舍弃具体事物，进而抽象概括出形的概念。所以，最早的数学本身就是数形结合。其它学科尤其自然科学都借助数学这一工具，精确地反映客观事物的运动形态和规律。

随着生产力的不断发展和人类认识水平的不断提高，数学获得了极大的进步，也提出了许多新的研究课题，诞生了许多数学理论成果，如概率论、运筹学、信息论、控制论等。数学与其它学科渗透，产生了诸多边缘学科：物理数学、生物数学、经济数学、语言数学等。数学方法被应用于大量学科，如分析处理人口学、人种学和考古学等科研数据，还被运用到研究经济学、法学、史学和语言学等社会科学中。这诸多方面都离不开数形结合的思想和方法的指导与运用。

基于数学而诞生的计算机，更彰显数学强大的工具性及实用性，也把数形结合的核心思想和灵魂发挥到极致。

数形结合是有效的教学方法和解题思路

以“数”化“形”。数学具有极强的抽象性和严密的逻辑性，在数学的教育教学中，必须借助一定的图形图示，将抽象的数学文字、数量关系等，借“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，把抽象问题具体化，让晦涩难懂的数学问题变得简单、直接、有趣、易解，优化解题途径，降低数学学习的难度，增加趣味性和观赏性。例如，在统计中，将繁杂的数字关系和表述可以通过一幅柱状图或扇形图等直观地呈现出来；在数量对比关系中，文字和数字的表述可以通过坐标系、带比例尺的图示等表现，使得对比分明、结果一目了然。解题中，尤其应用题，单纯从文字表述容易使人思维混乱、逻辑模糊，但若将其恰当地绘出图形，顿时豁然开朗，思路清晰，答案跃然纸上。

作为学生，要想真正学好数学并取得事半功倍的效果，必须树立数形结合的数学思维和习惯，尤其在大型数学选拔考试和竞赛活动中，巧妙运用数形结合化解抽象晦涩的数学问题，会让人感觉绝处逢生。

以“形”变“数”。虽然图形、图示、图像有形象、直观、简洁等优点，但在定量和精确性方面还必须借助数的计算和表示，特别是对于较复杂 的“形”，既要正确的把图形数字化，还要关注图形的特点，深挖题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行精确的分析计算。

“数”“形”渗透。中学数学最具代表性的数形结合就是解析几何，实质就是代数问题与图形之间的相互转化：代数问题几何化，几何问题代数化。直白表述就是彻底明白和灵活运用参数的几何意义和图形的代数特征，达到数形的完美结合。

数形结合与转化是数学在测绘应用中的经典表现

作为一门基础学科，数学被用于几乎所有学科。各学科运用数学数形结合与转换，来解决自身的实际问题，而数学也借此为实际问题提供理论基础。可见通过相互渗透与融合，数学和其他学科相互促进，获得各自的进步。当然测绘也不例外。在数学与各学科的渗透发展中，测绘是运用数形结合与转换最典型、最直接、最密切的学科。而三角几何在高程测量、角度测量、距离测量中的作用更是不言而喻。

数学与测绘的关系源远流长，人类最早测绘都是围绕“数”和“形”这两个重要的数学概念进行的，人类的测绘实际起源于丈量、勘测、界定土地，运用规矩（圆规和角尺等）等几何工具，巧妙的将“数”与“形”结合，为生产实践服务。据考证，三角几何学作为控制测量的理论基础与基本方法，早在古希腊时期就已被用于天文测量学，这可看做测绘学与数学联系的早期最重要反映。

把数学思维与方法渗透于测绘，借助数学及其新的分支学科，极大地促进了测绘的发展。而应用的重点就在于把数学中的“数”“形”结合与转化，更深层的运用到测绘中去，不仅提高测绘效率，更会使得测绘学的技术更进一步走向规范化、逻辑化、精准化。

近年来，随着数学及其分支学科的迅速发展，测绘领域可借助的“数”“形”结合转化工具也越来越先进高效，如小波分析、数学形态学、分形等，这些理论和方法也助推了大地测绘、摄影与遥感测绘、地图制图测绘、军事防御工程测绘等诸多领域走向更高层次、更为深入的专业化、科学化、现代化发展轨道。

数学的博大精深及其广泛的实用性，在人类发展史上所起的巨大作用是其它学科无法比拟的。我们在学习和实践中要活学活用，认真体味。比如：近年对珠穆朗玛峰高度的复测再次引起大家对测绘的关注；生活中，有很多人类自身无法达到的高度或者宽度，根本不容易直接测量，比如楼房、大树、高塔等的高度及宽度，直接测量相对比较麻烦，但运用数学和物理等相关知识和方法，即可实现间接测量，且所花的人力、物力等成本都相对小的多。

（作者单位：山东费县二中）