步长因子对最小均方误差自适应滤波效果影响的研究

徐奔奔， 周芝峰， 杨恩星， 霍文明

1. 上海电机学院 电气学院 上海 200230 2. 上海电气输配电集团 技术中心 上海 200042

步长因子对最小均方误差自适应滤波效果影响的研究

徐奔奔1， 周芝峰1， 杨恩星2， 霍文明1

1. 上海电机学院 电气学院 上海 200230 2. 上海电气输配电集团 技术中心 上海 200042

自适应滤波器凭借其优越的性能，在微电子、自控、信号处理等诸多领域逐渐得到广泛应用。介绍了自适应滤波原理、自适应滤波算法，论述了步长因子对最小均方误差(LMS)自适应滤波效果的影响，借助MATLAB Simulink对被随机干扰的周期信号进行仿真研究，分析了步长因子对LMS算法收敛速度、滤波过程及输出信号稳态失调的影响。

步长因子； 最小均方误差； 自适应滤波器

与其它滤波方法相比，自适应滤波具有更强的适应性、更优的滤波性能，被认为是近年来最好的滤波方法，自适应滤波技术在微电子、自动控制、信号处理等诸多领域得到了广泛应用[1-2]。在信息处理过程中，不确定性干扰信号客观上会以不确定的方式对信息处理产生影响。针对这一问题，研究一种排除干扰信号的方法，使滤波器的输出信号满足或大致满足某一规定的特性指标，是研究自适应滤波器的主要任务之一。这其中，对步长因子的研究是关键[3]。

与经典滤波器相比，自适应滤波器输出信号的频率随输入信号的变化而变化，属于现代滤波器的范畴。自适应滤波器的主要特点是利用前一时刻已获得的滤波器参数，依据相关的自适应滤波算法自动调节当前时刻的滤波器参数，从而实现最优滤波，自适应滤波器具有自适应、自调整的性能[4-5]，从本质上来讲，是一种具有自我调节性能的维纳滤波器。

1 自适应滤波原理

讨论自适应滤波器，主要讨论滤波器结构和滤波算法两部分。自适应滤波器使用最多的算法是最小均方误差(LMS)算法[6]。LMS自适应滤波算法以预期输出响应和滤波输出信号之差的均方值最小为标准,通过不断调整因子，使输出误差序列的均方值最小化，同时使自适应迭代算法最优化。LMS自适应滤波算法因为不需要进行相关矩阵的复杂运算，也不用求解相关函数，所以具有简单操作性，相对其它滤波算法具有易于实现、计算量小等特点而被广泛应用。

自适应滤波器的结构有有限冲击型(FIR)和无限冲击型(IIR)两种[7-8]。在考虑稳定性的前提下，多采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构，如图1所示。

图1 FIR滤波器

图1中x(n)为滤波器输入信号，y(n)为自适应滤波器输出信号，e(n)为y(n)与期望信号d(n)进行比较之后得到的误差信号，调整滤波器参数使误差信号最小是设计滤波器的目的。在对滤波器输出信号收敛速度及相位要求不是很高的情况下，自适应滤波器一般采用FIR滤波器横向结构[9]，如图2所示。

图2 FIR滤波器横向结构

矢量X(n)表示滤波器所有输入信号的矩阵：

X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-N+1)]T

(1)

式中：N为滤波器的阶数；n为时间指针。

矢量W(n)为权因子，表示自适应滤波器的冲击响应：

W(n)=[w0(n),w1(n),..,wN-1(n)]T

(2)

式中：w(n)为迭代权因子。

滤波器的输出信号y(n)：

(3)

2 LMS自适应滤波算法

滤波算法是设计自适应滤波器的关键，好的自适应滤波算法可以大大改善滤波器性能,进一步优化滤波效果。一般而言，自适应滤波算法根据不同的优化准则，可以分为两类基本算法： LMS算法与最小二乘(RLS)算法[10]。其中，LMS算法通过假设平方误差的均方值最小来进行预测，即使均方值最小。

e(n) =d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)w(n)

=d(n)-wT(n)x(n)

(4)

在自适应滤波过程中，根据LMS算法修改权因子，使滤波性能最优。自适应滤波算法是一种简单、稳定、易于实现的算法。LMS算法属于最陡梯度下降法，对于其算法梯度可单一化表示为：

(5)

式中：σ为微分算子。

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(6)

式中：μ为步长因子，取值范围为[0，1/λmax]，λmax

步长因子在实际信号处理中对算法收敛速度、滤波过程、稳态性等有重要作用。自适应滤波器在实际工作过程中输入端会存在一定干扰，这些干扰可能导致滤波算法产生参数失调与噪声现象，干扰信号越强,引起的噪声越大，系统也就越不稳定。减小步长因子μ可避免或减小自适应滤波器失调噪声，提高算法的收敛精度，优化滤波效果。当然，步长因子减小的同时也会降低自适应滤波算法的收敛速度，所以研究步长因子显得格外重要。

3 MATLAB仿真分析

MATLAB Simulink具有强大的数学分析功能，为科研人员研究与设计滤波器提供了参考，也使分析工作变得简单、方便。笔者借助Simulink对输入带有噪声的正弦信号进行滤波分析，输入原理如图3所示。

图3 滤波器仿真输入原理图

在实际工作中输入信号往往伴随着各种干扰，包括周期和非周期成分，笔者希望通过滤波器自适应调节分离出周期信号，排除干扰信号。将周期信号与噪声信号混合作为输入信号，经过延迟单元延迟一段时间，由高斯理论可知，混合输入信号中的周期信号之间是相关的，噪声信号之间则是不相关的，所以，自适应滤波器可减少输出信号中的干扰信号成分，使输出信号达到对原输入正弦周期信号的最优估计。

应用Simulink进行模拟仿真，设周期信号为x(n) =5sin(ωt)，根据需要可设置不同的频率来观察输出响应。

设输入的正弦周期信号频率为3Hz，自适应滤波步长因子μ=0.000001。在Simulink中搭建仿真框图并运行，可得图4至图7所示波形图。

图4 滤波器输出信号0～10s波形图

图5 滤波器输出信号10～20s波形图

图6 步长因子μ=0.000001权值波形图

图7 步长因子μ=0.000001滤波器输出波形图

图4至图7中，红色曲线为输入正弦周期信号，绿色曲线为受干扰后的正弦信号，蓝色曲线为滤波器输出信号。可知，当步长因子μ=0.000001时，自适应滤波器在最初阶段输出信号与权值均为零，自适应滤波器经过多次迭代与不断调整权值，输出信号幅值逐渐变大，波形慢慢逼近原正弦周期信号。一段时间后，输出信号与原周期信号波形基本一致，即如图5所示自适应滤波器10～20s的输出波形基本逼近原周期信号波形。

将步长因子扩大为原来的十倍，取μ=0.00001，原始周期信号不变。为在输出波形中看到更清晰直观的效果，图8只给出受干扰之后的正弦波形与滤波器输出波形。

图8中绿色曲线为被干扰的正弦周期信号，蓝色曲线为LMS自适应滤波器输出信号。对比图4与图8可以看到，后者输出信号只需要较短的自适应调整时间，其幅值大小就能接近原周期信号，波形逼近原始信号，迭代过程与算法的收敛速度更快。当然，前者滤波效果更好，输出信号稳定性更强。比较图6与图9,可以发现图9中权值发散更快，所以步长因子越大，权值发散越快，可见在实际问题中选择合理的步长大小，可使权值收敛。比较图7与图10，可以发现图7滤波器输出信号平滑性更好，而图10出现了稳态失调现象，滤波器输出信号效果较差。

图8 受干扰的周期信号与滤波器输出波形

图9 步长因子μ=0.00001权值波形图

图10 步长因子μ=0.00001滤波器输出波形图

4 结论

由仿真分析可知，在LMS自适应滤波过程中，步长因子越大，自适应调整时间越短，滤波过程越快，但稳态失调越严重，滤波效果越差，因此选取合理的步长因子对自适应滤波效果很重要。应用LMS自适应滤波算法时，当步长因子大于某一值时，就会使系统发散。为了解决步长因子对滤波效果的影响，变步长自适应滤波算法得到了应用，但还存在诸多缺点，值得进一步研究。

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Adaptive filter, by dint of its superior performance, has extensive use gradually in many fields including microelectronics, automatic control and signal processing. An introduction was gived on the principle of adaptive filtering, adaptive filtering algorithm and a discusses was also gived on the impact of step factor to least mean square (LMS)adaptive filtering effect. With the help of MATLAB Simulink, a simulation study was performed for the periodic signals that were disturbed randomly with an analysis on the impacts of the step factor to LMS algorithm convergence speed, the filtering process and homeostasis of the output signal.

Step Factor； LMS； Adaptive Filter

2016年3月

徐奔奔(1990— )，男，在读硕士研究生，主要研究方向为电力电子与电力传动， E-mail： 13122608568@163.com

TM461

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1674-540X(2016)03-053-04