3.78787……的循环节是什么

覃祝书

近段时间有老师在教学五年级上册《循环小数》一课时，争论这样的一个问题：3.78787……的循环节到底是78还是87呢？

认为3.78787……的循环节是87的老师观点认为：现在这个小数的小数部分重复、完整写出的是87，因此循环节就是87；如果它再写一个8，这个小数写成3.787878……，那它的循环节就变成了78。

认为3.78787……的循环节是78的老师观点为：

1、从概念定义判断。教科书对“循环小数”是这样定义的：一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。寻找“依次不断重复出现”的“一个数字或者几个数字”，是要从“一个小数的小数部分”的“某一位起”开始找，即从小数点后第一位（十分位）从左往右开始找有无“依次不断重复出现”的“一个数字或者几个数字”。（ “依次不断重复出现”包含从左往右这样的顺序，不会有人认为也可以从后往前“重复出现”吧？）

2、从知识点生成索源。在除法中，当“被除数”不能被“除数”整除（即除不尽）时，商会出现两种情况：①不断出现余数，且余数各不相同毫无规律，于是商是无限不循环小数；②不断出现余数。但余数总是一个或几个有规律地反复出现，于是商是（无限）循环小数。第2种情况在除的过程中，商“依次不断重复出现”的“一个数字或者几个数字”，就是从小数点后从左往右出现的。

3、从数字的本质归原。出现这样的教学异议或争议，主要是老师们纠结在：3.7878……的循环节毫无争议地是78，而3.78787……多写了一个数字7，哪循环节该是什么？我们不妨先来问答三个问题：①在除法算式（竖式）中，如果算式一的商是3.7878……，算式二的商是3.78787……，你认为这两道除法算式（竖式）是完全一样吗？②3.7878……和3.78787……两数大小比较，是不是相等呢？③3.7878……和3.78787……这两个小数的小数点后第20位（或第100位……）的数字是不是相同的呢？相信你的答案都是肯定的。这两个数字本质上就是同一个小数，因而它的内部结构或特征都是一样的，循环节也是这样的一个小数中的一个固定不变的内部结构或特征之一。从众多不同中归纳相同之规律，从众多变化中寻找不变之本质，是数学学习的本质根源。应用到社会生活，那就是：不管你换了多少身马甲，你还是你。

我个人认同第二个观点。寻找一个循环小数的循环节时，要从小数点后第一位开始判断，小数点后第一位不是的，紧接着判断小数点后第二位，依此类推。比如循环小数0.3333……，我们必须确认它从十分位就开始循环的，而且标注循环点时必须标注在十分位的3上方，这体现了数学的最简化性思想。

第一个观点违背了数学知识系统的前后关联性、承接性，是毫无根据可言的，是形而上学的教学法，只能导致学生解决问题看表象，不深究内在关联。为免这样的教学方法发展成教学观，故撰此文。

研为教而研，在教学中完成育人目标。这是我所理解的“教书育人”。教学要争论。肤浅之见，望广大数学教师展开大讨论，并不吝赐教！