半序概率度量空间中增算子的不动点定理

朱奋秀

(湖北经济学院法商学院，湖北 武汉 430205)

半序概率度量空间中增算子的不动点定理

朱奋秀

(湖北经济学院法商学院，湖北 武汉 430205)

不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，对非线性微分积分方程的研究有重要意义.半序方法是研究非线性算子方程问题的主要方法之一，在概率度量空间中通过泛函引入半序，并利用此半序研究概率度量空间中增算子的不动点的存在性问题，得到一些不动点存在性定理.

半序概率度量空间；不动点；增算子

1 预备知识

众所周知，非线性算子的不动点存在性问题是非线性泛函分析研究的主要内容之一，而且不动点理论在非线性积分方程和微分方程中有广泛的应用.1976年，Caristi.J.利用泛函在度量空间中引入了一个半序并得到几个不动点定理.本文将在概率度量空间中引入半序关系，证明了几个增算子的不动点定理.

设R表示所有实数的集合，R＋表示所有非负实数的集合，映像称为分布函数，如果它是非减的，左连续的，又满足下列条件用D表示一切分布函数的集合，H(t)表示一特殊分布函数，其定义如下

Menger概率度量空间(简称为Menger PM-空间)是一三元组，其中E是一抽象集，Δ为 tˉ范数，F是E×E到D的映像(记分布函数F(x， y)为Fx，y，而表示的值)，并且假定满足下面的条件:

Fx，y(ε)＞1ˉλ，可以验证″≤″为(E，F，Δ)上的半序关系，称此关系为由φ导出的半序.

定义2 设(E，F，Δ)是Menger概率度量空间，″≤″是由φ导出的半序，算子称为序连续的，如果对任意单调列，其中x∈

定义3 称A:E→E为一个增(减)算子，若∀x， y∈E且x≤y有

引理1 设″≤″是概率度量空间(E，F，Δ)上由φ导出的半序，若x≤y，则

2 主要结果

定理1 设(E，F，Δ)是Menger概率度量空间，且tˉ范数连续且满足为一有下界的连续泛函，″≤″是由φ导出的半序，又设A:E→E是关于″≤″的增算子，且存在x0∈E，使得x0≤Ax0.则A在E中存在不动点.

从而有xμ≤x∗，∀μ∈J.显然，所以有对都有

从而有x∗≤Ax∗，x∗∈E1，即x∗是E1的一个上界，应用zorn引理，有极大元，由≤A及A的单调性，，所以，由是E1的极大元，必有，即是A的不动点.

定理2 设(E，F，Δ)是Menger概率度量空间，且tˉ范数连续且满足为一有上界的连续泛函，″≤″是由φ导出的半序，又设A:E→E是关于″≤″的增算子，且存在x0∈E，使得x0≥Ax0.则A在E中存在不动点.

证明:仿定理1的证明方法

注:上述定理与文[12]定理相比，弱化了对算子连续性的要求.

又由(E，F，Δ)中的半序的定义可得:

取N(ε，λ)＝max{N1(ε，λ)，N2(ε，λ)}，由xn＋1＝Axn和Menger概率度量空间中广义三角不等式得，

又算子A单调增，因此有Axn≤Ayn，且，即对上述ε，λ，存在N∗(ε，λ)，使得，因此有

因此有x∗≤x，同理可证x≤y∗.

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(责任编辑:付强，张阳，李建忠，罗敏；英文编辑:周序林)

Fixed point theorems of increasing operators in partially ordered probabilistic metric spaces

ZHU Fen-Xiu
(School of Law＆Business，Hubei University of Economics，Wuhan 430205，P.R.C.)

Fixed point theory is an indispensable part of nonlinear functional analysis and is of great significance in the research of differential and integral equations.Partially ordered method is one of the main methods in studying nonlinear problems.In this paper，a partial order is introduced by a function in Probabilistic Metric Spaces.Some existence problems of increasing operators are researched and some fixed point theorenms of increasing operators are gained in partially Ordered Probabilistic Metric Spaces by the partial order.

partially ordered probabilistic metric space；fixed point；increasing operator

O177.91

A

2095-4271(2016)05-0563-04

10.11920/xnmdzk.2016.05.016

2016-03-25

朱奋秀(1983—)，男，汉族，甘肃白银人，讲师，研究方向:非线性泛函分析.E-mail:zhufenxiu＠163.com

湖北经济学院法商学院科研资助项目(2016K12)