提升普通高师院校“泛函分析”课堂教学有效性的策略

2016-12-23段丽芬程亚焕陶玉杰

通化师范学院学报 2016年10期

关键词：定理院校空间

段丽芬，程亚焕，陶玉杰

(通化师范学院数学学院，吉林通化 134002)

提升普通高师院校“泛函分析”课堂教学有效性的策略

段丽芬，程亚焕，陶玉杰

(通化师范学院数学学院，吉林通化 134002)

针对近年来学生对“泛函分析”的学习热情不高,课堂教学效率低下的现状,从教师自身角度出发,结合普通高师院校学生的特点,通过改进教学过程,对提高泛函分析课堂教学有效性提出了三点建议.

普通高师院校;泛函分析;课堂教学;有效性

“泛函分析”是数学专业的一门重要专业基础选修课程，它是研究无限维线性空间上泛函和算子理论的一门分析数学，被喻为二十世纪的微积分，相对数学专业的“老三基”(数学分析、高等代数、解析几何)而言，与抽象代数、拓扑学一起被称为“新三基”.可见，“泛函分析”教学在高校数学专业教学中具有重要的地位.然而，目前这门课程的前景令人堪忧.近年来学生对“泛函分析”的学习热情呈下降趋势，选修课程的人数逐年递减，而且，选修这门课程的很多学生带着敷衍了事的态度而来，不是为了真正学好这门课程本身，而只是为了凑学分.那么造成现在这种局面的原因何在？作为教师，如何提高“泛函分析”课堂教学效果，提高人才培养质量，是如今我们必须思考的问题.本人结合“泛函分析”课程和普通高师院校学生的特点，从教师自身角度出发，提出了通过改进教学过程提高泛函分析课堂教学有效性的三点建议.

1 注重课程总体框架结构和主线的把握

“泛函分析”课程包括空间理论和算子理论两大部分内容，但这两部分内容又是彼此交织、相互联系的.在编写教材时需考虑阅读对象的基础，基本概念、基本理论的先后顺序、依赖关系等众多因素，往往课程的基本框架结构和知识体系的系统性无法完美呈现.如果教师在教学中不加引导，学生只掌握一些零散的概念定理，会做一些习题，过后很快就会忘掉.学生当然认为学的东西没用，也不会引起学生的学习兴趣.

我校数学专业本科生“泛函分析”课程选用的是程其襄等编著的《实变函数与泛函分析》(第三版)[1]，教学计划讲授第七章至第十章.围绕空间理论(包括第七章和第九章部分内容)和算子理论(包括第八章、第九章部分内容及第十章)两条主线展开，这一点在课程开篇就交待清楚，让学生思路清晰.必要时交叉进行，循序渐进.

对于空间理论部分突出距离空间、赋范线性空间、内积空间三个主要概念以及他们之间的关系，领会无限维空间引入的必然和必要，从大家熟悉的有限维欧氏空间入手再恰当不过了.通过“数学分析”和“高等代数”两门专业基础课的学习，学生对n维欧氏空间Rn已经有了不少的了解，引导学生将这些零散的认识进行归纳，提炼出其线性结构、几何属性、拓扑结构相关理论，沿其发展轨迹和实际需要进入无限维空间[2],让学生感到自然.

对于算子理论部分的核心内容是四大基本定理：Hahn-Banach定理、共鸣定理、开映射定理和闭图像定理，主要讲清定理的背景、内容及应用，下面以共鸣定理为例，进行阐述.

共鸣定理的来源：我们知道，若f是以2π为周期的连续函数，且在[-π,π]上按段光滑，则f的Fourier级数在(-∞,+∞)上收敛于f.那么将上述条件中的“在[-π,π]上按段光滑”去掉，结论是否成立？对于这个著名的问题，1876年，P.du Bois Reymond构造出了以2π为周期的连续函数的Fourier级数在给定点发散的例子；随后，O.Toeplitz在级数求和的研究中(1911年)、H.Hahn在插值问题(1918年)及奇异积分的研究(1922年)中、I.Schur在求和法的研究(1920年)中都对类似的问题加以关注，在不同数学领域得到了同类的结论，共鸣定理就是通过分析上述大量成果，由S.Banach和H.Steinhaus总结出的一般性的定理.

那么,自然考虑在什么条件下,点态有界便一致有界,共鸣定理很好地回答了这个问题.

共鸣定理内容:设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，Tα∈B(X,Y),α∈I.若{Tα}点态有界,则{Tα}必一致有界.

共鸣定理注解：

注2 设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，Tn∈B(X,Y),若对∀x∈X，{Tnx}都是Y中的柯西列，则{Tn}一致有界.

共鸣定理应用:共鸣定理应用很广泛，我们可以教材内容古典分析上的著名应用-傅里叶级数的发散问题为例仔细讲解，其他应用交待学生可参考的文献，如文献[3-5]，分组安排任务，找时间让学生讲.

总之，在教学中重视主线的把握，让学生一开始就知道我们在做什么.至于细节的内容灵活处理，使学生一直保持一种清醒状态去学习，避免导致消极情绪的“云山雾罩”的感觉.

有个人看完告示后，就一直心惊胆战地走着路，直到有个小孩拿着一样东西从后面追上他：“叔叔，这是您的吧？”

2 强调学科思想方法的渗透和作用

著名的数学教育家张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究或学习的导向，以便掌握其精神实质.只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，形成演绎体系才有灵魂.”[6]因此，在教学过程中，对重要概念和结论的引入，尽量采用“问题与猜想”“问题与分析”的形式，以利于帮助学生了解概念和结论的来龙去脉，掌握解决问题的方法，提高数学思维能力，增强应用意识.

(1)

不难想象,条件应该是:规范正交系M中的向量足够多.我们注意到,用“M张成的空间spanM在X中稠密”来刻画“足够多”的想法是合适的.因为这时,X中的向量x或者是M中有限向量的线性组合,即x∈spanM,或者是spanM中一列向量的极限,即能表成M中向量做成的级数和.

进一步,通过证明得到我们期望的结论：设X是Hilbert空间,M={ei}为Hilbert空间X中有限或可列规范正交系,则下列命题等价:

(2)M⊥={θ}(M完备);

3 体现师范特色，重视职业素养的培养

作为普通高师院校数学专业的学生，毕业后的去向大多是从事中小学数学教学，所以尽管在高度抽象的“泛函分析”课程教学过程中，也不能脱离培养数学教师职业素养的轨迹.首先，作为培养未来教师的教师，在教学中要时刻注意对学生的示范和影响作用，尤其对于像“泛函分析”这样学生不太热衷的选修课，教师饱满的热情和敬业态度，无疑是对高尚教师职业道德最好的诠释；其次，在“泛函分析”课程相关内容中挖掘与初等数学的联系，深刻领会高等数学对初等数学的指导作用.例如，学生通过完备性的学习可以知道，实数集R是有理数集Q的完备化空间，从而加深了无理数是有理数列的极限的理解，不但知道了无理数集具有连续基数，有理数集仅有可列基数，而且知道有理数集是第一纲集，无理数集是第二纲集等.于是，便提高了学生的知识素养；再次，在“泛函分析”教学中改变教师“满堂灌”的传统教学模式，让学生参与教学.这不但可以激发学生的学习兴趣，也可以锻炼学生的教学能力、沟通表达能力.虽然“泛函分析”课程的内容总体上抽象，但也有一些简单的概念、定理等，如连续映射的概念，在“数学分析”中一元连续函数定义的基础上很容易理解.压缩映射原理，因为它的特例可用数学分析的方法解决，在此基础上再进行推广便可获得.像这样相对简单的部分，可以通过小组讨论后选一名组员来讲，小组其他学生补充后，其余学生和老师再深入和补充的方式组织教学.使学生在学到数学专业知识的同时，锻炼了其教学能力和表达能力，提升了能力素养.

总之，“泛函分析”课程虽然抽象，但如果在教师充分了解学生的基础上，遵从人类的认知规律，在教学过程中将整个认知过程呈现给学生，相信每个学生都会受益匪浅.比如,在给出完备度量空间概念时,采用如下步骤:①复习“数学分析”中学习的数列收敛的柯西收敛准则.这部分可要求学生之前复习,包括其证明过程,强调结论:在实数集中，数列收敛的充要条件是数列是柯西列；②提出问题：在一般度量空间中，数列收敛的充要条件是数列是柯西列？通过证明得到结论：在一般度量空间中，收敛数列一定为柯西列，但反之不一定成立(以有理数集在欧式距离下构成的度量空间作为反例来说明即可)；③给出完备度量空间的概念：所有柯西列都收敛的度量空间称为完备度量空间．通过上述的教学过程，可能不是每个学生对每个推理过程都掌握很透彻，但他们会收获方法和总体过程的把握，在以后从事教学中注意讲清来龙去脉，注意联系和区别，注意循序渐进.

当然，除此之外，提升课件制作质量、注意肢体语言的运用、数学文化的渗透等都将对提高泛函分析课堂教学有效性有所帮助，要注意总结运用.

[1]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]徐宗本.从大学数学走向现代数学[M].北京:科学技术出版社,2007.

[3]定光桂.巴拿赫空间引论[M].北京:科学技术出版社,1999.

[4]匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[5]王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[6]张奠宙.张奠宙数学教育随想集[M].上海:华东师范大学出版社,2013.

(责任编辑:陈衍峰)

2015-10-12

2014年吉林省高等教育教学研究课题“地方高师院校泛函分析课程设计及实践研究”；2014年通化师范学院高等教育教学研究课题“地方高师院校泛函分析课程设计及实践研究”

段丽芬,女,吉林梨树人,教授.

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