一个含Bessel函数的积分定理的推广

蓝新华

(贺州学院 理学院，广西 贺州 542899)



一个含Bessel函数的积分定理的推广

蓝新华

(贺州学院 理学院，广西 贺州 542899)

运用留数理论和Hankel函数的相关性质,对K.S.Kodbig关于含Bessel函数的广义积分定理进行推广,给出一般情形下Bessel函数的无穷积分定理,并得到一些相应性质.

Bessel函数;留数定理;Hankel函数

本文中，主要对一类含Bessel函数的积分进行探索，得到含Bessel函数的无限积分的解．其结果进一步推广了K.S.Kodbig的结论．

1 预备定理

引理2[2]设Jv(x)是第一类v阶Bessel函数，Re s(f(x),z)表示f(x)在z点的留数，当v≻-1时，有

引理3[4]卷积积分方程

有特解

其中

2 主要结果

(i)当φ(x),φ(x)都是奇函数时

(1)

(ii)当φ(x)为奇函数，φ(x)为偶函数时

(2)

(3)

(4)

(5)

所以，当R→∞时，∫Cf(η)dη→0.

(6)

又因为wj(j=1,2,…,n)是f(η)的一阶极点[8]，有

(7)

由(3)～(7)得

(ii)当φ(x)为奇函数，φ(x)为偶函数时.在上述所作的复平面，有

再利用(3)～(7)，得到

整理即得结论(2)．

(i)当φ(x),φ(x)都是偶函数时

(ii)当φ(x)为偶函数，φ(x)为奇函数时

由定理1，可得

推论1 若φ(x)=φ(x)=x，g(x,z)=x+z，Resz>0,则

若在定理1中令φ(x)=mx，φ(x)=nx(m>0,n>0)，g(x)=x2+z2，则得到推论2．

推论2 若m>0，n>0，Resz>0,则

性质1 若m>0，n>0，s>0,则

在推论2中，若令z=is，则得到性质2.

性质2 若m>0，n>0，s>0，则

[1]K S Kolbig.An infinite integral of Bessel function[J].Comp.Appl.Math,1996,67:181-183.

[2]Ali A Al-Jarrah,A Al-Momani.On A Certain Class of Bessel Integrals[J].Turk.J.Math,2004(28):399-413.

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[4]Biserka Drascic，Tibor K pogany.On integral representation of Bessel function of the first kind[J].J.Math.Anal.Appl.,2005,308:775-780.

[5]G N Watson.A Treatise on the Theory of Bessel Functions [M].Cambridge:Univ.Press,1966.

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[9]M Abramowitz,I A Stegun,Eds.Handbook of Mathematical Functional with Formulas,Graphs,and Mathematical Tables[M].New York:9 th printing with corrections.Dover,1972.

(责任编辑:陈衍峰)

Generalization of an Integral Theorem Of Bessel functions

LAN Xin-hua

(CollegeofScience,Hezhouuniversity,Hezhou,Guangxi542899,China)

Based on the residue theory and the properties of Hankel function, we popularize the conclusions of K.S.Kodbig and obtain the Infinite Integral Theorem in the general case about Bessel function.It promotes the results of K.S.Kodbig and some properties are obtained .

Bessel function; residue theory ; Hankel function

2016-04-15

广西省教育厅项目(20140628)；贺州学院科研项目成果“含Bessel函数广义积分的研究”(2016ZZZK07);贺州学院硕士点建设数学支撑学科自主课题项目(2016HZXYSX11)

蓝新华,广西上林人,讲师．

O174.6

A

1008-7974(2016)05-0035-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.012