从内涵出发，丰富学生对数学概念的认知——《对称》备课思考及课堂实践

●夏井川

从内涵出发，丰富学生对数学概念的认知
——《对称》备课思考及课堂实践

●夏井川

《对称》是人教版新课标教材二年级下册第3单元第一课时的教学内容。笔者曾执教了本课，现将备课思考和课堂实践整理如下，以期与同行讨论交流。

一、教材解读

实验教材中，《对称》编排在二年级上册第五单元《观察物体》的第二课时、第三课时，包括轴对称和镜面对称。“做一做”中明确要求画出轴对称图形的对称轴，练习题中还要求按对称轴画出轴对称图形的另一半。新教材中，根据一线教师的反馈，去掉了镜面对称，将轴对称单独拿出来编排在二下《图形的运动（一）》中，同时将“画对称轴”和“按对称轴画出轴对称图形的另一半”这两点后移到了四年级下册《图形的运动（二）》中。

实验教材二下第三单元《图形与变换》包括“锐角和钝角”“平移和旋转”以及“剪一剪”等内容。新教材将“锐角和钝角”整合到二上《角的初步认识》中，与直角一起编排。将二上的“对称”后移到二下，和“平移”“旋转”一起编排。知识的呈现更加合理化、系统化，便于学生学习和系统理解。

对比实验教材，新教材指向性更为明确和清晰。

二、备课思考与课堂呈现

课标（2011年版）中关于图形的运动学段要求

第一学段第二学段第三学段结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90°。通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别和旋转中心连线所成的角相等。

人教版教材中关于图形的运动的教学目标和内容编排

运动是世间万物的特征，是物质存在的基本形式。在现实生活中，我们会遇到很多物体的运动与变化。例如，将一块三角板移动位置，把一张照片放大若干倍，等等。在这个过程中，物体的某些性质发生了变化，而某些性质却保留了下来。例如，移动三角板，三角板的位置变了，形状、大小都不变；放大照片，照片中物体的大小变了，形状不变。从数学的角度看，物体的运动与变化，可以抽象为图形的变换。几何图形是点的集合，所以几何变换就是两个图形上点之间的一一对应，即点变换。

对称是一种最基本的图形变换，包括轴对称（也叫反转对称）、中心对称、平移对称、旋转对称和镜面对称等多种形式。在自然界和日常生活中具有对称性质的事物很多，学生对于对称现象并不很陌生。

基于对人教版有关“图形的运动”新旧教材、纵向教材编排的研究和整体、系统的学习把握，以及对《教师教学用书》的认真研读，感到“对称”这一知识在整个小学“图形与运动”结构中的重要地位和育人价值。“对称”是学生接触的第一种图形的运动，而儿童的年龄特点却决定他们在理解“对称”的运动性上远不及理解“平移”和“旋转”的运动来得直观。当然，如果从“图形的变换”角度来理解“对称”，则要容易得多。因此，备课时，笔者主要思考了这样几个问题：

1.对相关概念的理解。在本课中，至少有这样几个概念需要学生初步感知和理解：对称（基于单个物体和图形的）、对称轴、轴对称图形。在此基础上，可适当延伸“轴对称”的概念。对于二年级下学期的孩子来说，“对称”的生活经验是有的，生活中的建筑、艺术、生物、饮食等，到处都能看到和感受到对称现象，因此孩子们在课堂上说到了裙子、披萨、课本等。孩子们的问题在于，他们不能从这些对称表象中抽象出对称的特征，他们的年龄特征决定他们在感知对称上还处于“只可意会不可言传”的阶段。但是，如前所述，“对称”有很多种，二年级下册“轴对称图形”是最基本的一种。如果不给学生适当渗透，很容易使孩子形成思维定势：对称就是对折后能完全重合的，对称图形就是左右对称的（轴对称图形旋转一定角度后就容易对他们产生思维干扰），等等。课堂实践后，总感觉自己在这一块还讲得不够清晰，让学生把“对称”和“轴对称”混为一谈了，最典型的例子有两个：一个是学生对平行四边形的认识产生了歧义（反思：这里也有没有让学生动手操作的原因），一个是“做一做”中香港特区区徽紫荆花的图案（这其实是一种旋转对称，但不是中心对称）。因此，我们在本节课的学习中，可以把视野放宽些，眼光放高些，从上往下来考量，尽量层次分明地、有步骤地给学生渗透“对称”“轴对称”这样的概念。

2.从表象走向抽象。为了弥补学生对“对称”概念理解的不足，在备课和课堂教学中，笔者坚定地选择了学生感知众多的对称现象和对称图形：蜻蜓、树叶、荆州古城九龙桥、剪纸、国旗……并配以感性的描述语言，让学生在感知对称现象的同时感受到生活中对称的美。课堂实践表明，让学生感受对称现象和感受对称的美做到了和谐统一，实效较好。当然，在此过程中，笔者注意了“生活中的对称现象”和“图形中的对称图形”的用词。

3.教学要求的把握。前面学段要求中清楚表明，新教材二年级下册是初步感知“轴对称”和“轴对称图形”，不再教学轴对称的特征，不再要求画出对称轴，也不再要求在方格纸上根据轴对称的一半画出另一半。这些，都后移到了四年级下册《图形的运动（二）》中。但是，不作为正式的教学要求并不表示就完全不需要学生去初步感受。因此，在课堂教学中，笔者设计了3个小细节让学生来感受这三点：①用折一折让学生感受轴对称的特征；②用手比划对称轴让学生感受对称轴的位置和条数；③根据轴对称图形的一半以及给出的三个选项，在脑海中想象正确的图形并做出选择。另外，还有一些其他的小教学要求也需要教师把握，如，笔者在课堂中回避了数字的对称性，为什么？因为即使对称的数字也是基于它的字体，一个数字并不是所有字体下都是对称的。因此，在呈现对称的汉字时，笔者也特别说明“这种字体的这个字是对称的”。

三、课后研讨

课后，团队伙伴们针对笔者的教学设计和课堂呈现，发表了各自的看法，提出了很多很好的建议，主要有四点：

1.关于操作。本课有些地方应该让学生动手操作，例如，让学生体验学过的平面图形中，哪些是轴对称图形，哪些不是，可以让学生动手对折一下长方形纸、正方形纸、三角形纸、平行四边形纸以及圆形纸，印象会更为深刻，感知更为直观。

2.关于语言。“对称”是非常规范和严谨的数学语言，课堂实践表明，二年级的学生对此有自己的语言描述。在小学阶段，儿童的语言和数学语言之间是有距离的。作为教师，应该在儿童的感性语言和数学的理性、规范语言之间架起一座桥梁，促进儿童对数学概念的理解和感知。

3.关于拓展。可以在讲完轴对称图形的对称后，适当拓展一下两个相同的物体（或图形）关于对称轴的轴对称现象，开阔学生的视野。

四、课后的再思考

课后，针对本节课的呈现和伙伴们的建议，笔者再一次进行了备课思考。先后查阅了课标、初中教材，上网查询了相关资料。

1.对称知识编排的分与合

下图是初中九年级《数学》中学习“旋转”一章时的知识结构图，可以让我们对“图形的运动”在义务教育阶段的分布及其作用有一个更为清晰的认识。

2.关于对称

百度百科上对于“对称”是这样梳理的。

对称：指物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做它的对称轴。

中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。而这个中心点，叫做中心对称点。

旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（0°＜旋转角＜360°）。常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆等（注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形）。

人教版小学数学二年级下册《教师教学用书》第84页有这样的资料：

基于以上的分析，到现在，我们是不是可以在脑海里对“对称”形成一个清晰的框架：对称从大的方面分为反转对称（轴对称）和旋转对称（中心对称是特殊的旋转对称）；对称可以是一个图形内部的左右两部分的联系，也可以是两个图形之间的一种关系。

3.关于轴对称和轴对称图形

轴对称与轴对称图形是既有联系也有区别的两个概念。这一点，初中数学教材中介绍得比较清楚，同时也是教师必须了解和清楚的知识背景和专业储备。

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

如下图，可以看成是两只小鸡图关于直线1对称,也可以看成是一幅图中的两只小鸡关于直线1轴对称。当然，教学中应顺便打破学生对轴对称的定式思维认知，如右图。

五、二下“轴对称图形”教学建议

到此为止，希望能简要而又清晰地给出二下“轴对称图形”的备课和教学建议：

1.尽量讲清楚“对称”和“轴对称”的不同与联系；

2.重视学生的动手操作；

3.重视生活中的对称现象（可以有轴对称，也可以有中心对称）的感受和欣赏，帮助学生丰富对称的表象，开阔数学视野；

4.把握好教学要求，既不超纲，又不能太低估学生的思维水平和已有经验基础。

（作者单位：荆州市教育科学研究院）

责任编辑 刘玉琴