新型复合材料功能梯度板热屈曲研究

李科哲,赵 彪,李晓娇,刘 洋

(1.中国酒泉卫星发射中心,甘肃 酒泉 732750; 2.哈尔滨工程大学 动力与能源工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001)



新型复合材料功能梯度板热屈曲研究

李科哲1,赵 彪2,李晓娇1,刘 洋1

(1.中国酒泉卫星发射中心,甘肃 酒泉 732750; 2.哈尔滨工程大学 动力与能源工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

针对目前功能梯度材料(FGM)热物参数存在众多不同表征方法的现状，假设功能梯度平板材料热物参数沿厚度向呈同一任意函数形式变化，基于经典板理论和一阶剪切理论，用临界平衡法推导板的屈曲方程，用Navier法求解方程，给出功能梯度平板热屈曲临界温度的通用解析式。考虑其热物参数对温度的依赖性，通过迭代算法获得了四边简支的功能梯度平板在均匀受热时临界屈曲温度变化的封闭解。以常用的指数型功能梯度平板为例进行了数值计算，分析了平板几何尺寸对其临界屈曲温度的影响。结果表明：结构尺寸参数是影响临界温升的最主要因素，临界屈曲温度分别随其厚长比和长宽比增大而单调增大。研究扩大了均匀温度场中功能梯度平板热屈曲临界温度计算公式的适用范围，有一定的工程意义。

功能梯度平板； 热物参数； 任意函数； 热屈曲； 临界温度； 均匀温度场； 依赖性； 指数型

0 引言

FGM是日本材料学者于1984年针对航天领域中出现的高落差温度现象提出的，其材料要素沿某一方向由一侧向另一侧呈连续梯度光滑变化，基本消除了宏观界面，由此能避免或降低热应力集中。功能梯度材料常用于航天结构的外壳、核反应堆的防护体、发动机内衬、火箭热障层等结构，在极端热环境中取得了较大的成果。目前，已发展到将FGM直接作为高温环境中的结构构件[1]。复合材料板壳结构在热载荷下热屈曲行为在航空航天领域具极其特殊的意义。鉴于FGM的应用前景广泛，国内外对功能梯度板结构的热屈曲研究获得了大量成果，表现出研究方法的多样性和全面性。文献[2]综合有限元方法(IGA)与第三平板变形理论(TSDT)讨论了FGM板的热屈曲问题。文献[3]用第三剪切变形平板理论推导出FGM板在三种不同机械载荷以及两种不同温度载荷下的屈曲问题解析式。文献[4]结合第一平板剪切变形理论与里兹法探讨了FGM板在不同边界条件以及平板缺陷大小下的屈曲行为。文献[5]用高阶平板变性理论探讨了FGM板机械和温度后屈曲问题，发现非线性方程对其前屈曲及初始后屈曲状态影响较小，但对深度后屈曲行为影响很重要。文献[6]也用无网格法分析了FGM板的热屈曲问题。针对FGM板在不同载荷和边界条件下热屈曲问题，国外也进行了大量研究。文献[7]用经典非线性Von Karman平板理论，分别在机械载荷、温度载荷以及机械-温度联合载荷下，解决了圆板的非线性弯曲和后屈曲问题。文献[8]探讨了四周简支FGM板的热屈曲，并分析了其临界温升的变化因素。文献[9]讨论了在均匀温度变化下，温度沿厚度线性变化、沿厚度非线性变化，以及沿长度方向线性变化时的FGM板热屈曲。文献[10]分析了简支倾斜FGM板的热屈曲问题，并探讨了倾斜角度对其临界温升的影响。文献[11]分析了FGM板三维热屈曲问题，并与前人研究进行了比较。国内对FGM热屈曲问题研究较少，具代表性的是文献[12]在非线性弹性基础上分析了矩形板在均匀和非均匀(抛物型)热分布作用下的后屈曲；文献[13]在考虑FMG中厚板在受压屈曲、热屈曲及热/机械预应力条件下，给出了基于高阶剪切理论研究板屈曲载荷和屈曲温度的半解析数值方法；文献[14]基于经典板理论，假设FGM板材料属性沿厚度以幂律变化，推导了其热屈曲温度的计算表达式；文献[15]用Ritz法对各向同性圆板在周边弹性约束下的热屈曲问题进行了研究。

综合FGM板热屈曲研究可知：多数研究成果基于其材料属性沿厚度方向成幂律变化的假设，其结论的推广和应用均局限于其该特定的函数假设。但由于FGM的属性是不断变化的，确定一种统一、精确的代表性函数模型十分困难，另外在描述材料梯度分布的函数模型中还有指数函数、多项式函数等常用函数，因此找到一种通用的函数模型描述FGM板热屈曲问题将会有效扩大其结论推广的适用范围[16]。本文假设FGM板材料属性沿厚度方向呈任意函数模型变化，通过建立FGM板热屈曲分析的通用模型，推导其热屈曲临界温升的解析式，并计算了常用的指数型FGM板模型的临界温升，分析了其与FGM板几何尺寸的变化关系。

1 材料本构模型

考虑一尺寸为a×b×h的矩形板如图1所示。板的下侧为金属，上侧为陶瓷，中间为两种材料按一定比例组成的混合物。

图1 功能梯度平板模型Fig.1 Model of FGM plate

假设FGM参数均沿板厚度z向按同一函数规律变化，即

J=F(z)J(-h/2).

(1)

式中：J为材料的热物参数；J(-h/2)为相应材料参数在z=-h/2处的值；F(z)为关于z的通用变化函数，且F(-h/2)=1，有

E=E(z)E(-h/2)，

α=α(z)α(-h/2)，

K=K(z)K(-h/2).

此处：E(z)为弹性模量任意变化函数；α(z)为热膨胀系数任意变化函数；K(z)为热传导系数任意变化函数。三者的函数形式相同。

FGM的热物参数是位置坐标和温度的函数，因此对FGM作力学分析时，还须考虑组份材料的热物参数与温度变化的相关性。TOULOUKIAN给出了陶瓷与金属的热物参数随温度变化的规律

Ji=c0(c-1T-1+1+c1T+c2T2+c3T3).

(2)

式中：c-1，c0，c1，c2，c3为组份材料的温度系数[17]。

由式(1)、(2)可确定FGM在某一温度下的E(z)，α(z)，K(z)。FGM的泊松比ν 可视为常数，本文取ν=0.3。

2 FGM板基本方程

根据经典板理论并考虑横向剪切变形，矩形薄板的位移可表示为

u1(x,y,z)=u(x,y)+zφx；

u2(x,y,z)=v(x,y)+zφy；

u3(x,y,z)=w(x,y).

式中：u(x,y)，v(x,y)，w(x,y)分别为板的中面在x、y、z向的位移；φx，φy分别为板的中面法线相对x、y轴的转角[10、18-20]。由文献[3、21-22]，对应的各方向应变可表示为

εx=u,x+zφx,x；

εy=v,y+zφy,y；

γxy=u,y+v,x+z(φx,y+φy,x)；

γxz=φx+w,x；

γzy=φy+w,y.

3 控制方程

板单位长度的内力Nx，Ny，Nxy和内力矩Mx，My，Mxy可用板的应力沿厚度z向积分而得，有

式中：

z)(1,z)dz.

本文用临界平衡法推导板的屈曲方程。设板在热载荷作用下平衡稳定状态的位移为w0，对w0加一微小增量w0→w0+w1，此处w0为临界状态的挠度，w1为微小增量，它们既满足屈曲前的平衡方程，又满足屈曲后的平衡方程。将w0+w1代入并减去原来的平衡方程，略去高阶项后得到屈曲控制方程为

本文用Navier方法求解方程，选择Fourier级数

w1=csin(mπx/a)sin(nπy/b)

作为位移方程[3、21-22]。此处：c为任意常数；m，n分别为轴向和周向的屈曲波数，且自动满足边界条件式

E(-h/2)α(-h/2)·P·ΔT.

将热参数Ψ代入可得

显然，当m，n分别等于1时，温度最小，因此热屈曲的临界温升为

(3)

式(3)即为承受均匀热载荷下材料参数任意形式变化的FGM板的屈曲临界温升通用解析式。

当E(z)=1，α(z)=1且不考虑横向剪切变形时，表示均匀各相同性板的屈曲温度解析式(文献[8])退化为

(4)

与THORNTON给出的均质各相同性板的临界温升解析式一致[23]。

4 FGM物料参数对温度的依赖性

注意到材料属性与温度相关，式(3)右边是温度的函数，为一耦合方程，不能直接进行求解。因此，本文引入迭代算法，用Matlab编写相应的计算程序求解临界温升ΔTcr，流程如图2所示。图中：φ(T,a,b,h,m,n)为式(3)右边；ΔT0，ΔTi分别为起始温升和第i迭代步的温升。

图2 迭代流程Fig.2 Iterative flowchart

本文采用常用的指数型FGM模型。设金属的弹性模量和热膨胀系数分别为Em，αm， 即E(-h/2)=Em，α(-h/2)=αm，其弹性模量和热膨胀系数等物性参数为空间坐标函数，变化关系满足

式中：βE，βα，βK分别为FGM弹性模量、热膨胀系数和热传导系数非均匀参数。FGM物性参数变化规律与空间位置的关系如图3所示。

图3 物性参数变化规律与空间位置的关系Fig.3 Relationship between physical parameters variation and spatial location

5 算例

选取组份材料Si3N4，SU304。设起始温度Tm=300 K，陶瓷面温升为ΔT，分析物性参数对临界温升的影响，比较了不考虑物性参数与温度相关性(TIMP)和考虑物性参数与温度相关性(TDMP)两种情况，计算了长宽比a/b=1，厚长比h/a为0.02～0.10，以及h/a=0.1，a/b为1～5两种工况下的ΔTcr，结果分别如图4、5所示。

图4 ΔTcr与厚长比h/a的变化关系Fig.4 Relationship between ΔTcr and h/a

均匀温度变化下FGM板临界温升与几何尺寸的变化关系见表1。由表1可知：ΔTcr随FGM板厚长比和及长宽比增大有逐渐稳定的趋势，TDMP的ΔTcr远小于TDMP，且在ΔTcr较大时两者差距更为显著，这说明考虑物性参数与温度的相关性十分必要，否则临界温升将被严重高估。

表1 均匀温度变化时FGM板ΔTcr 与几何尺寸的变化关系

图5 临界温升ΔTcr与长宽比a/b的关系Fig.5 Relationship between ΔTcr and a/b

综合图4、5和表1可知：结构尺寸参数是影响临界温升的最主要因素，且其临界屈曲温升随厚长比增大而单调增大，随平板长宽比增大而单调增大，且随着几何相对尺寸的增大，临界温升提高十分明显。

6 结束语

本文对新型复合材料功能梯度板热屈曲问题进行了研究，假设FGM板材料沿厚度向呈任意函数模型变化，通过建立FGM板热屈曲分析的通用模型，推导出其临界温升的通用计算公式。具体应用时，若假设材料参数均沿板厚度z向按同一函数规律变化，则无论任何函数形式，只需将关于z的通用变化函数F(z)代入即可，从而显著扩大了其适用范围。研究发现：指数型FGM板的临界温升随厚长比，以及平板相对尺寸长宽比的增大而增大，功能梯度材料在极端热环境中具优良的表现，但应用时应注意校核其热屈曲强度。分析FGM平板热屈曲问题时，须考虑组份材料热物参数对温度变化的依赖性，否则将导致临界温升被严重高估。 本文推导了基于一阶剪切理论和均匀温度场的通用表达式，后续将针对高阶剪切理论或非均匀温度场屈曲控制方程的变化作进一步研究。

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Study on Thermal Buckling of Functionally Graded Cylindrical Shells

LI Ke-zhe1, ZHAO Biao2, LI Xiao-jiao1, LIU Yang1

(1. Jiuquan Satellite Launch Center of China, Jiuquan 732750, Gansu, China;2. College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

Because there are many different characterization methods of functionally graded material thermal parameters at present, it is assumed that thermal parameters of functionally graded plates in the thickness direction have arbitrary function with the same form. Based on the classical plates theory and first-order shear theory, the buckling equation was derived with critical balance method and the equation was solved with Navier method. The general analytic formula in analysis of functionally graded plates buckling critical temperature was deduced. Taking the thermal parameters dependence of temperature into consideration, the critical-buckling temperature of simply supported functionally graded plates was obtained by an iterative algorithm. Taking the example of usual exponential functionally graded plates, the geometry influence on critical-buckling temperature was analyzed. The results show that the main factor to influence the critical-buckling temperature is the structure size, and the critical-buckling temperature increases by increasing of thickness-length and length-width ratios. The study enlarges the adaptability of the critical temperature analytic formula of functionally graded plates in the uniformity temperature field. It is valuable in engineering.

Functionally graded plates; Thermal parameter; Arbitrary function; Thermal buckling; Critical-buckling temperature; Uniformity temperature field; Dependence; Exponential

1006-1630(2016)05-0071-06

2016-07-05；

2016-08-07

李科哲(1991—)，男，硕士，主要从事飞行器总体设计与系统仿真研究。

TB33

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.011