一元函数与二元函数

摘 要一元函数的连续、可导、可微之间存在一定的关系，这些关系对于二元函数是否还成立呢？本文将讨论它们之间的关系问题。

【关键词】连续；可导；可微

1 一元函数的连续、可导、可微之间的关系

对于一元函数，可导必连续，连续不一定可导；可微必连续，连续不一定可微；可导必可微，可微必可导。这些关系对二元函数会是怎样呢？

2 二元函数的连续、可导、可微之间的关系

2.1 二元函数连续与可导（偏导数存在）的关系

对于二元函数，偏导数存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在。

如对于二元函数：

即

所以二元函数在（0，0）处连续。

而

即二元函数在（0，0）处偏导数存在。

结论：对于二元函数，偏导数存在时也可以连续，连续时偏导数也可以存在。

而对于二元函数

由于

即与k有关，

所以极限不存在。

而由，

知二元函数在（0，0）处偏导数存在。

结论：对于二元函数，偏导数存在时也可以不连续。

而对于二元函数：

由于

即，所以二元函数 在（0，0）连续。

但由于

所以二元函数在（0，0）处偏导数不存在。

结论：对于二元函数，连续时偏导数也可以不存在。

综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，偏导数存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在。

2.2 二元函数可导（偏导数存在）与可微（全微分存在）的关系

对于二元函数，偏导数存在不一定可微，可微一定偏导数存在。

如对于二元函数

由，知

由，知

即二元函数

在（0，0）处偏导数存在。

但

不存在

所以二元函数

在（0，0）处的全微分不存在。

而对于二元函数：

由于

即二元函数在（0，0）处偏导数存在。

且由于函数在（0，0）处的增量

所以函数在（0，0）处的全微分存在。

结论：对于二元函数，偏导数存在不一定可微。

而对于二元函数，全微分存在一定偏导数存在。证明如下：

设二元函数在（x，y）处全微分存在，则在（x，y）处的增量

所以

所以二元函数在（x，y）处偏导数存在。

综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，偏导数存在不一定全微分存在，但全微分存在一定偏导数存在。

2.3 二元函数连续与可微（全微分存在）的关系

对于二元函数，连续不一定可微，可微一定连续。

如对于二元函数：

由于

即

所以二元函数在（0，0）处连续。

由于函数在（0，0）处的增量

所以函数在（0，0）处的全微分存在。

而对于二元函数：

由于

即，所以二元函数在（0，0）连续。

但由于函数在（0，0）处的偏导数

所以二元函数在（0，0）处偏导数不存在。

所以函数在（0，0）处的全微分也不存在。

结论：对于二元函数，连续不一定全微分存在。

而对于二元函数在（x，y）处全微分存在时必连续是可证明的。证明如下：

由于二元函数在（x，y）处全微分存在，所以在（x，y）处的增量

所以

所以二元函数在（x，y）处连续。

综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，连续不一定全微分存在，但全微分存在一定连续。

3 结束语

本文对一元函数的连续、可导、可微之间的关系同二元函数的连续、可导、可微之间的关系做了详细的比较，对一元函数成立的结论，对二元函数不一定成立，这一点绝不能随便借用一元函数的结论。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2007（04）.

作者简介

任其昇（1967-），男，现为沈阳工学院基础课部副教授。研究方向为数学。

作者单位

沈阳工学院基础课部 113122