基于提升高中生反思能力的数学变式教学策略研究*

广州市广雅中学(510140)李晓颖

基于提升高中生反思能力的数学变式教学策略研究*

广州市广雅中学(510140)李晓颖

一、数学变式教学的意义

随着课程改革,高中课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变,对学生能力的要求提出更高的要求.数学变式教学的基本思想是:运用不同的知识和方法,借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题的编拟手法,对有关数学概念、定理、公式及课本上的习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规律,逐步培养学生灵活多变的思维品质,增强其应变能力,激发其学习数学的积极性和主动性,提高其数学素质,培养其探索精神和创新意识,从而真正把对能力的培养落到实处.目前国内各高校进行的自主招生考试,很多题目都是往年高考题目的变式题,这种题目有利于选拔高素质的学生,因此数学变式教学从这些方面都充分体现了培养学生能力的要求.此外,现在的高考越来越关注学生的综合能力与反思能力,例如:

【2011江苏高考18题】已知直线x-y+1=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点.

图1　

(1)求椭圆S的方程;

(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.

①若直线PA平分线段MN,求k的值;

②对任意k＞0,求证:PA⊥PB.

重点和难点在(2)②.

代入椭圆方程得

法二:(点差法)由题意设P(x0,y0),A(-x0,-y0), B(x1,y1),则C(x0,0),∵A、C、B三点共线,

本题第(2)②问,应该是考察能力的分水岭,第一种方法对计算的能力要求比较高;而第二种方法对点差法的理解要比较透彻.那么我们平时教学的时候应该怎么引导学生呢?反思这个问题:

问题一:是两种方法都讲,还是只介绍其中的一种?如果只讲其中的一种,应该选择讲哪一种呢?

问题二:这种类型的题目有没有一般性的结论呢?如果有,教学的时候应该如何呈现给学生,是直接告诉学生结论还是引导学会探究,让学生自己找到一般性的结论呢?

通过有效反思,我们确实可以挖掘此问题一般性结论:

图2　

(1)求证kAB·kPB为定值;(答案:)

(2)求证:存在实数λ,使kPA=λkAB(答案:2)

(3)求证kPA·kPB为定值.(答案:)

笔者对高考试题做了深入研究,发现很多的高考题,其本质就是一些结论的具体化,我们在给学生讲解某种题目的时候,最好能够探究其本质,挖掘出一般规律.如何探究其本质,挖掘出它本源的东西.这就是数学课堂实施变式教学的关键,更是提升反思能力的有效途径.

关于教师对变式教学的认识与行动的研究结果表明:在多数教师看来,变式练习是变式教学的主要形式.因而教师最关注解题方法的变式,追求解题方法的多样性.教师认为变式的使用是学生认知的需要,同时也是题型训练的需要,他们关注变式对学生的”获得”所起的作用,同时也关注变式对学科知识的传授所起的作用.多数教师认为针对某一知识点的同水平的数学问题的反复操练既有助于记忆,又能促进理解.多数情况下,教师对变式的使用并不是无意识的,而是课前有设计的.建议成长中的新教师应:(1)重视变式教学的作用,在课堂教学中,有计划、有设计地使用变式;(2)关注教法与学法的变式;(3)将变式更多地延伸到课堂教学的”外围”:复习思考、巩固反思和小结练习这三个环节;(4)在教学中要试图探索变异空间的适当的维度.

二、数学变式教学实践案例分析

笔者多年任教高三,在高三复习备考中实施变式教学已是常态.下面结合两个具体的教学案例,介绍在高三数学复习备考中如果进行变式教学提升学生反思能力.

A.最大值为0B.最小值为0

C.最大值为-4D.最小值为-4

这是基本不等式的应用,基本上高考每年都考.它可以考选择题,填空题,也可以考大题.为何年年考,年年都有学生做错或者不会做呢?反思已成为我的一种教学习惯.

在利用基本不等式时,教师一般都会强调“一正,二定,三相等”,那么我们就得给学生看看,如果不是正数怎么办?如果不是定值怎么办?如果不相等怎么办?这样各种情况都涉及到,学生对于基本不等式的理解就更加深刻,透彻.

问题1:如果不是正数怎么办?我们可以这样变:

A.最大值为0B.最小值为0

C.最大值为-4D.最小值为-4

问题2:如果不是定值怎么办?我们可以这样变:

问题3:如果不是定值怎么办?我们可以这样变:

对于变式3,我们还应该让学生反思:有些题目,看起来像是考基本不等式,其实它不是.我们应该教会学生如何识别考点是什么?应该用什么方法来应对那些看起来很“熟”的东西.这需要老师不断的变式,让学生不断的反思.如果在平时的教学中都能这样做,相信学生对这个知识点一定能掌握透彻,以后不管题目怎么变,都能灵活应用,这就是变式教学的目的.

例2.设数列{an}满足

(1)求数列{an}的通项公式;

重点反思的第二问,如何用裂项相消法求数列的前n项和?

裂项相消法,错位相减法求数列的前项和是每年高考的重点,也是高考的难点.前者形式多样,学生很难识别.后者模式固定但计算难度较大.对于前者,如何在教学中让学生识别这是在考用裂项相消法求数列的前n项和?对于本题的第(2)问,我们至少可以作出以下变式:

对于分数型的裂项相消求数列的和,我们可以通过各种形式的练习,让学生观察,归纳,总结出一般的模式或者经验.本人认为对于可以用分数型的裂项相消求数列的和,其分母一定是某个数列相临或者相间隔两项的乘机,分子是分母那个数列相临或者相间隔两项的差的常熟倍.即形如这种形式的数列可以用裂项相消求和.

此外,我们还可以补充总结出常见的裂项的方法:

三、数学变式教学的实践成效与反思

变式教学对于数学教师来说并不陌生,几乎每位教师都在自己的课堂中自觉不自觉的应用,但是大多数的教师对变式教学缺乏深入的了解,认为变式教学就是简单的在解题教学中一题多解、一题多变或多题一解,还有一些教师在使用变式教学时,没有经过精心的设计,而只是凭教学中的点滴灵感,这样的变式教学有的时候会因为没有梯度而层次不清,如果把握不好反而会加大学生的学习负担.笔者结合多年的高中数学教学实践经验,以及对变式教学理论的深入学习,对变式教学进行了系统实践,形成了变式教学设计策略,历届学生的学业成绩一直处于领先地位,学生的反思能力得到提升,进而促进学生的全面发展.

笔者通过数学变式教学实践,反思以下几个问题:

1.对变式教学的重新分类是可行的,是适合高中教学实践的.

2.变式教学是有效的,可以提高学生的学习兴趣,有利于数学知识的掌握,有利于学生能力的培养和思维水平的提升.

3.在变式教学中应在难度、数量和学生的参与度上有所把握,才可以使变式教学事半功倍.依照教师举例、学生模仿练习、课后完成作业,来达到掌握、巩固、运用数学知识的目标,不利于培养学生数学思维能力.在我们的数学实践教学中,教师通过对所要学习的数学概念,或者其它的定理结论等进行适当地变式,也就是说应用变式教学的手段或者说是方法.实践表明,多进行变式教学,能帮助学生更加深刻地认识到该数学问题的本质特征.有利于培养学生的数学反思能力能力.具体实施变式教学时有如下启示:

1.在我们实际数学变式教学中,教师应该精心设计所要变式的题目,步步深入的引导学生从一系列“变化”的现象中发现问题始终“不变”的本质特征,又能从事物“不变”的现象中进一步探求事物“变”的现象和规律;

2.变式后的问题要明确;变式问题的设计要科学、合理;变式问题的设计还要有目标本位.

3.变式应具有可参与性;变式应具有可探究性;变式应具有开放性;

4.变式应具有生成性;变式应联系实际,增强应用意识.教学实验结束,学生的问卷及结果显示,创新的变式教学能够更好的促进学生对数学知识的理解,而且能提高学生学习的兴趣.

[1]黄晓琳;李祎;;变式教学的有效性浅析[J];福建中学数学;2008年07期.

[2]聂必凯;数学变式教学的探索性研究[D];华东师范大学;2004年.

[3]袁素芳;新课标下数学“变式”思维的训练[J];教育导刊;2004年07期.

[4]罗腾根;变式,数学课堂教学之法宝[J];数学教学通讯;2006年10期.

[5]鲍建生,黄荣金,易凌峰,顾泠沅;变式教学研究[J];数学教学;2003年01期.

[6]顾泠沅;黄荣金;费兰伦斯·马顿;变式教学:促进有效的数学学习的中国方式[J];云南教育(中学教师);2007年03期.

*本论文是广东省教育科学十二五规划课题《运用变式教学提升高中生数学反思能力的实践研究》的阶段性研究成果.