图形问题中的数学思想

朱志伟

图形问题中的数学思想

朱志伟

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确了将“数学的基本思想”作为“四基”目标之一，进一步明确了数学思想在数学教育中的地位.数学思想是数学的灵魂和精髓，在学习“平面图形的认识（一）”这一章时，同学们了解、掌握和运用相关的数学思想方法，有利于提高数学学习的效率，开发智力，培养数学能力，培养解决实际问题的能力.下面通过举例予以说明.

一、转化思想

有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能顺利得到解决.

例1一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图1所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来.

图1

图2

【简析】将正方体展开，A、B的位置如图2所示，连接AB，根据“两点之间，线段最短”，可知线段AB就是符合条件的最短路线，在正方体上这样的最短路线不止一条.

二、方程思想

在处理有关角的大小、线段大小计算时，借助方程来求出未知量是一种重要策略.

例2如果一个角的补角是150°，求这个角的余角.

【简析】若设这个角的大小为x，则这个角的余角是90°-x，于是由这个角的补角是150°可列出方程求解.

解：设这个角的大小为x，则这个角的余角是90°-x，根据题意，得

180°-x=150°，解得：x=30°，

即90°-x=60°.

故这个角的余角是60°.

例3已知线段AC∶AB∶BC=3∶5∶7，且AC+AB=16 cm，求线段BC的长.

【简析】在本题中，可设AC=3x cm，则AB=5x cm，BC=7x cm.因为AC+AB=16 cm，所以3x+5x=16 cm，解得x=2，因此BC=7x= 14 cm.

例4如图3，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠EOB∶∠BOD=3∶2，求∠AOF的度数.

图3

【简析】在本题中，可设∠EOB=3x，∠BOD=2x，因为OE平分∠BOC，所以∠EOC= 3x，因直线CD，则3x+2x+3x=180°，解得x= 22.5°，所以∠BOD=2x=45°.因为OF⊥CD，直线AB，所以∠AOF=45°.

三、数形结合思想

数形结合，由数思形，以形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于同学们把握数学问题的本质.

例5已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB.

（1）线段CB是线段AB的几倍？

（2）线段AC是线段CB的几分之几？

【简析】本题的呈现方式是图形式，而设问内容却是一个数量问题.如果同学们不画出图形就不容易发现其数量关系，而一旦将画图视为自觉行为，其数量关系就会一目了然.这正是数形结合思想的具体体现.

四、分类讨论思想

物以类聚，人以群分，数学中的问题也是一样，在许多情况下，通过分类既可以避免出错，又可以训练我们的思维.

例6在一条直线上有A、B、C三点，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，若AB=3，BC=2，试求线段MN的长.

【简析】根据题意只能确定A、B、C三点在同一条直线上，但不能确定它们的顺序，因此要分情况讨论.

图4

图5

解：（1）当点C在线段AB外时，如图4所示，

（2）当点C在线段AB上时，如图5所示，

例7已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.

【简析】根据题意∠AOB与∠BOC有一公共边OB，边OA与边OC的位置不能确定，因此要分情况讨论.

图6

解：（1）当边OC在∠AOB外时，如图6所示，

图7

（2）当边OC在∠AOB内时，如图7所示，

例8有四个点A、B、C、D，经过其中每两个点画直线，可以画出几条？

【简析】条件中没有明确4个点或其中3个点是否在同一条直线上，因此应分情况进行讨论.

解：（1）当A、B、C、D四个点在同一条直线上时，只可以画出1条直线，如图8所示.

图8

（2）当A、B、C、D四个点中有3个点在同一条直线上时，可以画出4条直线，如图9所示.

图9

（3）当A、B、C、D四个点中任意3个点都不在同一条直线上时，可以画出6条直线，如图10所示.

图10

【简析】根据题意可知，线段AB、AC是同一条直线上的两条线段，但是线段AB、AC的位置不确定，也就是说A、B、C三点的位置不确定，因此应分B、C在A点的同侧和B、C在A点的两侧两种情况讨论.

解：BC=3MN，理由如下：

（1）当B、C在A点同侧时，如图11所示，

即BC=3MN.

图11

（1）当B、C在A点两侧时，如图12所示，

即BC=3MN.

图12

因此线段BC的长度是MN的3倍.

以上介绍了4种常见的数学思想方法，数学思想方法还有很多，限于篇幅，这里不再一一赘述，但需要提醒同学们的是，数学思想方法不是靠老师灌输的，而是由自己不断反思、体悟出来的，脱离了问题来谈数学思想方法是毫无意义的.另外，各种思想方法并不是相互孤立地发挥作用，有时需要多种思想方法共同起作用才能解决问题.笔者认为，从初一开始就注重数学思想方法的学习，将为今后的学习打下坚实的基础，从而受益终生.

（作者单位：江苏省吴江区实验中学）