基于拟Shannon区间小波的分步小波方法

钟鸣宇，朱宗玖

(安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽 淮南 232001)



基于拟Shannon区间小波的分步小波方法

钟鸣宇，朱宗玖

(安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽 淮南 232001)

用拟Shannon区间小波解非线性薛定谔方程，为数值解提供了又一有力工具。简要分析了分步方法的一般形式，得出了分步小波方法的算法公式。说明了色散算子矩阵是Toeplitz矩阵，分步小波方法的运算量主要来自色散段中Toeplitz矩阵向量积。该方法减小了该Toeplitz矩阵的存储空间，从而提高了运算速度。以解析解为准，给出了基于拟Shannon区间小波的分步小波方法的相对误差。结果表明，与以往基于Daubeches小波的分步小波方法相比，精确性有了较大提高。

非线性光学；分步小波方法；数值计算；拟Shannon区间小波；对称Toeplitz矩阵

在非性光纤光学中，非线性薛定谔方程具有基础性作用。常用的分步傅里叶方法，利用离散傅里叶变换求解方程。随着小波分析理论研究的深入，利用小波逼近求解非线性薛定谔方程，已引起人们的广泛关注[1-3]。利用小波逼近解各种非线性偏微分方程的过程中，离散化方程的过程中会产生误差。为了消除这种误差，需要使用插值小波。已有的方法主要采用Daubechies小波。然而，由于Daubechies小波及各阶导函数没有解析表达式，导致求解过程较为复杂，且容易引起强烈的边界效应[4-6]。近年来，拟Shannon区间小波作为解非线性方程的有力工具，引起人们的巨大关注[7-9]。该小波的各阶导数都具有解析表达式，且较好的克服了边界效应的影响，提高了数值逼近的精度[10]。已有的结果显示，非线性偏微分方程的数值解在局部有急剧变化时，利用该小波求解显示出巨大潜力。

本文利用拟Shannon区间小波解最基本的非线性薛定谔方程，结果表明该方法适用于求解非线性薛定谔方程。计算Toeplitz矩阵向量乘(TMVP)时，充分利用了刚度矩阵的稀疏性，提高了运算速度。最后，给出了基于拟Shannon区间小波的分步小波方法的数值计算结果，并与基于Daubechies小波的分步小波方法进行了比较，表明基于拟Shannon区间小波的分步小波方法具有很高的精度。

1 非线性薛定谔方程及分步解法

如果光纤损耗被周期放大器补偿，光脉冲的传输可由归一化非线性薛定谔方程描述为

(1)

式中：u、ξ、τ分别为归一化脉冲包络复振幅、归一化距离和归一化时间，可分别表示为

式中：A为脉冲的实际振幅，z为传输距离，t为时间，vg为脉冲群速度，P0为脉冲峰值功率，对双曲正割脉冲，T0=TFWHM/1.76为脉冲初始半宽度，γ为光纤的非线性系数。根据一般的分步方法，式(1)写为

(2)

假定在传输的过程中，色散与非线性效应分别作用，可得到其数学表达式为

(3)

为提高精度，采用对称分步傅里叶方法

u(ξ+h，τ)=

(4)

当h和τ足够小，精度可以得到保证。

2 拟Shannon区间小波构造

由于Shannon小波不具有紧支撑特性，因此，对Shannon尺度函数进行正则化处理

φσ(τ)=φ(τ)Rσ(τ)

(5)

φσ(x)具有良好的紧支撑性，定义d为均匀离散单元格的大小，则可得到插值核函数为

φσ，d(τ-τn)=

(6)

ωj，n(τ)=ωj(τ-τn)=

(7)

依经验取r=3或r=3.2。

函数u(x)可表示为：uj(τ)=∑uj(τn)ωj(2jτ-n)，其逼近误差小于10e-16[10]。在τk处的一阶、二阶导数可表示为

(8)

(9)

3 非线性偏微分方程的拟Shannon区间小波空间离散

如前所述，u(x)可近似表示为

uj(τ)=∑uj(τn)ωj(2jτ-n)

(10)

则可把U(xk)的二阶微分表示为

U″(xk)=U(xn)W2(xk-xn)

(11)

一般将矩阵W1和W2称为一阶和二阶微分算子矩阵。求一阶微分的该微分算子矩阵是一般的带状Toeplitz矩阵，二阶微分的微分算子矩阵是对称的带状Toeplitz矩阵。

4 基于拟Shannon区间小波的分步小波方法及运算时间复杂度

各种不同的分步方法中，非线性段的处理方法是完全相同的，不同之处在于如何处理色散段的求导项。基于分步小波方法的色散段可写为

(12)

其中i是虚数单位，完整的分步小波方法可写为

(13)

5 实验结果及分析

为了使计算结果具有通用性，使用式(1)表示的归一化模型，设输入为

u(0，τ)=2sech(τ)

(14)

其计算结果如图1所示。

图1 二阶孤子在10个孤子周期上传播

为了更加精确的比较各种数值方法的计算精度，使用式(1)的解析解f(ξ，τ)作为标准[12]，解析解的数学表达式为

f(ξ，τ)=u(ξ，τ)=

(15)

基于拟Shannon区间小波的数值解用g(ξ，τ)表示，定义分步傅里叶方法的相对误差为

(16)

误差曲线如图2所示，该误差曲线是取样点数为512，1024，2048三条误差曲线的平均值。在40个孤子周期内，对二阶孤子的数值计算，其相对误差在0.1%左右波动，运算精度能比较充分的满足数值计算的要求，而以往的研究结果表明，基于Daubechies小波用于数值计算高阶孤子传播，与分步傅里叶方法所取得的公认值的相对误差在5%左右，对一阶孤子，其相对误差在1.2%左右波动[3]。

图2 基于拟Shannon区间小波的分步小波方法与解析解的相对误差

6 结束语

本文研究了基于拟Shannon区间小波的分步小波方法解归一化非线性薛定谔方程，分析了其对应的微分算子和色散算子矩阵，基于拟Shannon区间小波比基于Daubechies小波的色散算子矩阵更容易取得。本文使用的分步方法，计算量主要来自色散段中向量与Toeplitz矩阵相乘。简要分析了使用拟Shannon小波，不能使用基于嵌入式矩阵的FFT的快速算法的原因。提高运算速度应充分利用色散算子矩阵的稀疏性。最后，以方程的解析解为准，得到了该方法的相对误差，表明该方法具有很高的精确性，与比以往的小波分步方法相比，误差降为原来的1/10。如果要将本文介绍的方法的运算速度进一步提高，应设法进一步提高TMVP的运算速度。

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(责任编辑：李 丽，编辑：丁 寒)

Split-step Wavelet Method Based Oon Quasi-Shannon Interval Wavelet

ZHONG Ming-yu, ZHU Zong-jiu

(School of Mechanical Engineering and Automatization, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China)

Quasi-Shannon interval wavelet was used to solve the nonlinear Schrödinger equation, which provided another powerful tool for numerical solution of the equation. The general form of split-step algorithm was studied briefly. The dispersion matrix is Toeplitz matrix, and most of the calculation came from Toeplitz Matrix-Vector Product. This method abated the memory space for Toeplitz Matrix to improve calculating speed. Finally, with the analytic solution being the standard, the accuracy of split-step Wavelet method based on Quasi-Shannon interval wavelet was given. The results show that compared with split-step wavelet method based on Daubechies wavelet, the accuracy has improved greatly.

nonlinear optics; split-step wavelet method; numerical analysis; Quasi-Shannon interval wavelet; symmetrical Toeplitz matrix

2015-10-14

钟鸣宇(1982-)，男，四川三台人，讲师，硕士，研究方向：光通信系统。

TN929

A

1672-1098(2016)05-0059-04