运用质心系解决两体碰撞问题

蔡支坤 王笑君

(华南师范大学物理与电信工程学院 广东 广州 510006)



运用质心系解决两体碰撞问题

蔡支坤 王笑君

(华南师范大学物理与电信工程学院 广东 广州 510006)

将以质心坐标系为桥梁解决两体碰撞问题.先推导出两物体碰撞前的速度在质心系中的表达，然后推导出两物体碰撞后速度在质心系中的表达，最后运用相对性原理计算出两物体碰撞后速度在一般惯性参考系中的表达，从而建立起了两物体碰撞后速度与碰撞前速度的直接联系.

质心系 两体碰撞 惯性系

1 研究的背景

两体碰撞是物理教学和理论研究中常见的一类问题，是研究运动的物体相互作用的最简单模型，也是质点运动学中非常重要的内容.对此问题，传统的解法是对两个物体碰撞前后的动量和能量进行分析，列出方程进行计算，原则上可以解出最后结果，但是此方法因为涉及到二元二次方程，计算过程显得繁琐，且容易出错.本文另辟蹊径，以质心坐标系为桥梁，并结合坐标图像，建立起两物体碰撞后的速度与碰撞前速度的联系，并将最后的计算结论推广到一般的情形中.较之于传统的解法，此种方法避免了复杂的计算，在熟悉了推导过程后，可以直接将最后的计算结果运用到所有的一维碰撞过程中.

2 质点组和质心系

对于单个质点的受力和运动情况的研究，相信读者已经比较熟悉，而对于存在相互作用的多个质点的运动情形，情况看起来要复杂一些，为此，我们引入质点组的概念，把由许多(有限或无限)相互联系着的质点所组成的力学体系叫做质点组.

在对整个质点组运用动力学基本定理时，我们发现：在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定.如果以这个特殊点作为参考点，又常能使问题简化，我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心，简称质心C.

现说明这个特殊点的位置是如何定出的[1].

假定有n个质点，它们的质量是m1,m2,…,mn,位于P1,P2,…,Pn诸点，这些点相对某一指定的参考点O的位矢是r1,r2,…,rn，则质心C对同一点O的位矢rC满足以下关系

此即为质心C相对于参考点O的位矢，以质心C为原点建立的坐标系称为质心坐标系，简称质心系KCM.

3 两物体碰撞前在质心系中的速度

两个质点组成最简单的质点组，如图1所示，以O为坐标原点的惯性参考系称K系，设质点1和2碰撞前在K系的位矢分别为r10，r20，相对位矢为

r0=r10-r20

进而可以得到质点1和2碰撞前在K系中的速度分别为

图1

引入相对速度的概念，在K系中两质点碰前的相对速度为

点C为质点1和2的质心，则质心C应在两质点的连线上，根据质心位矢的定义，质心C相对于K系的位矢为

则质心C相对K系的速度vC为

结合相对运动的相关知识以及上面的坐标图像，可以建立两质点的位矢和速度矢量在K系和质心系KCM之间的联系.

位矢之间的关系为

上边两式同时对时间进行求导，可以得到速度之间的关系如下

将上边两式相减得到

(1)

由此我们可以看到，两质点在K系中的相对速度与两质点在质心系KCM中的相对速度相等，也就是说，两质点之间的相对速度与参考系无关.

下面来计算一下两质点在质心系KCM中的总动量

(2)

从上述结果我们可以看出两质点在质心系KCM的总动量为零，不难证明，对于多个质点组成的质点组的情况，该结论仍然成立，因此我们经常将质心系又叫做零动量系或者动量中心系[3].

结合上述相对速度式(1)和总动量为零的式(2)，可以得到质点1和2在质心系KCM的速度为

因此，结合坐标图像和相对运动的知识，我们就得到了质点1和2碰前在质心系KCM中的表达式.

4 两物体碰撞后在质心系中的速度

本文主要讨论比较常见的对心碰撞，在对心碰撞中，两质点具有相对于质心的点对称性，那么两质点在碰撞前后所有速度方向都沿两质点连线方向，据此，我们可以作出碰撞之后的坐标图像.

图2

如图2所示，碰撞后与碰撞前相比，质点1和2关于质心C点对称，此时，质点1和2在K系中的位矢分别为r1，r2，速度分别为

两质点之间的相对位矢为

相对速度为

容易证明，两质点碰撞之后在质心系KCM中的总动量也为零，因此两质点碰后的计算与两质点碰前的计算类似，可以得到质点1和2碰撞后在质心系KCM中的速度分别为

因此，根据对心碰撞的点对称性以及结合图像可以快速地得出两质点碰后在质心系KCM中的表达式.

5 两物体碰撞前后速度的联系

在任何短暂的碰撞过程中，物体之间的内力远远大于外力，因而总可认为，碰撞过程中系统的总动量是守恒的，因此可以得到

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

所以，碰撞前后质心C在K系中的速度相等

即碰撞前后质点组的质心速度保持不变.

牛顿总结了各种碰撞实验的结果，引进了恢复系数e的概念[2]，它定义为

根据点对称性，在质心系KCM中，碰撞前的相对速度和碰撞后的相对速度方向彼此相反，因此有u=-eu0；利用此式，我们可以建立碰撞前后质点组相对于质心系的速度关系如下

因为碰撞前后，质心C的速度vC保持不变，所以根据伽利略相对性原理，碰撞后质点1和2在K系中的速度分别为

再将相对速度的表达式代入上式，就可以得出两质点碰撞后质点的速度与碰撞前速度的关系

我们来看看该结论在两类常见碰撞情况中的运用.

(1)完全弹性碰撞，e=1

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

联立上述两式或直接将e=1代入，可以得到碰后两质点的速度为

(2)完全非弹性碰撞，e=0

v1-v2=0

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

联立上述两式或直接将e=0代入，可以得到碰后两质点的速度为

6 小结

行文至此，本文利用质心坐标系和坐标图像法解决了一般的对心碰撞问题.上述推导过程看似复杂，其实非常有规律可循，一步一步推导下来非常严谨.再结合质点的位矢坐标图像，不仅可以帮助检验计算的结果，还有助于理解相关的计算结果，避免死记硬背.运用质心系的优越性就在于其对称性，质点组相对于质心系的总动量为零，以质心系为桥梁，可以很好地建立两物体在碰撞前后速度的关系，简化计算.希望本文能为广大师生解决两体碰撞问题提供一些帮助.

1 周衍柏.理论力学教程.北京：高等教育出版社,2009. 84～852 赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程:力学.北京：高等教育出版社,2004. 127～130

3 冯奇胜.质心参照系中两体碰撞问题的研究.物理通报，2001(6)：14～15

2015-10-13)