均衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的公共不动点的迭代逼近

周光亚

(四川工程职业技术学院 基础部，四川 德阳 618000)



均衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的公共不动点的迭代逼近

周光亚

(四川工程职业技术学院 基础部，四川 德阳 618000)

在Hilbert空间中，引入一种新的的迭代方法，通过该迭代方法求得广义混合均衡问题的解集与无限族k-严格伪压缩映象公共不动点集的公共解.并在适当的条件下，得到强收敛定理.

广义混合均衡问题;不动点；k-严格伪压缩映象;Hilbert空间

设H是一实Hilbert空间，〈·，·〉和‖·‖分别表示其上的内积和范数，C是H的非空闭凸子集.F:C×C→R是二元均衡函数，R为实数集，φ:C→R为实函数，A:H→H是非线性映射.

均衡问题是非线性分析领域的一个热点问题，非线性分析领域的许多理论和实际问题均可纳入均衡问题的框架进行研究.不仅如此，物理学，经济学和最优化理论中的很多问题可归结为寻找均衡问题的解.近年来，大多数学者在Hilbert空间中，对均衡问题、非扩张映象不动点的问题做了广泛研究[1-3].受文献[4-5]研究思想方法的启发，本文在Hilbert空间的框架下，定义了一种新的迭代算法，用以逼近广义混合均衡问题的解集与无限族k-严格伪压缩映像的不动点集的公共元.

广义混合均衡问题为:求x∈C使得:F(x,y)+φ(y)-φ(x)+〈Ax，y-x〉≥0，(∀y∈C) 记它的解集为GMEP(F，φ，A).若A=0，有F(x,y)+φ(y)-φ(x)≥0，(∀y∈C)称为混合均衡问题(MEP).

1 预备知识

定义1 (1)称f∶C→C为压缩映像，若‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖，∀x，y∈C，α∈(0，1)是压缩常数.

(2)称T∶C→H为k-严格伪压缩映象，如果存在一个常数0≤k<1使得

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2， ∀x，y∈C.

(3)称T∶C→C为非扩张映像，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，∀x，y∈C.

定义2 称A:C→H为α-逆强单调的，若存在α>0使得

≥α‖Ax-Ay‖2，∀x，y∈C.

定义3 设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，∀x∈H，在C中存在唯一的一个点，

用PCx表示，使得‖x-PCx‖≤‖x-y‖，∀y∈H.称PC为由H到C的度量投影.

由定义知PC是非扩张的.

引理1[2]设H是一实Hilbert空间，C是H的非空闭凸子集.

1)对∀y，x∈H，及λ∈[0，1]，有

‖λx+(1-λ)y‖2=λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-λ(1-λ)‖x-y‖2

2)对每一x∈H和z∈C，有z=PCx⟺≥0，∀y∈C.

引理2[3]设{xn}和{zn}是Banach空间E中的有界序列，{βn}是[0,1]中的数列满足

为了研究广义混合均衡问题，对函数F作如下假设:

(A1)F(x,x)=0，对∀x∈C;

(A2)F是单调的，即F(x,y)+F(y,x)≤0，∀∀x，y∈C;

(A3)对于每一个固定的y∈C，F(x,y)关于第一个变元x是弱上半连续;

(A4)对于每一个固定的x∈C，F(x,y)关于第二个变元y是凸的且是弱下半连续.

2 主要结论

定理1 设C是Hilbert空间H的一个非空闭凸子集，F:C×C→R是一个二元均衡函数，满足条件(A1)～(A4)，φ:C→R是下半连续凸函数，A:C→H为α-逆强单调映像，T：C→C是一列k-严格伪压缩映象,且Ω=Fix(T)∩GMEP(F，φ，A)≠Φ，f:C→C是一个具压缩常数α的压缩映像，任给x1∈C，序列{xn}⊂C和{un}⊂C由如下算法产生:

(1)

其中{αn}，{βn}，{λn}是[0，1]中的序列，满足条件：

则序列{xn}和{un}强收敛于p=PΩf(p)

(i)证明 {xn}和{un}有界.

由文献[5]中引理5知Td是非扩张映象，且Fix(Td)=Fix(T)

设p∈Ω，由文献[4]中引理4及Tr的定义知un=Trnxn，

‖un-p‖=‖Trnxn-Trnp‖≤‖xn-p‖

(2)

由式(1)和(2)有

‖yn-p‖=‖λn(un-p)+(1-λn)(xn-p)‖≤‖xn-p‖

(3)

又由式(1)和(3)有

‖xn+1-p‖≤ αn‖f(xn)-p‖+βn‖xn-p‖+(1-αn-βn)‖Tdyn-p‖≤

αn‖f(xn)-f(p)‖+αn‖f(p)-p‖+βn‖xn-p‖+(1-αn-βn)‖yn-p‖≤

αnα‖xn-p‖+αn‖f(p)-p‖+βn‖xn-p‖+(1-αn-βn)‖xn-p‖≤

[1-αn(1-α)]‖xn-p‖+αn‖f(p)-p‖≤

因此{xn}有界，于是{un}，{yn}，{Tdyn}，和{f(xn)}也有界.

类似于文献[4]的证明有

(4)

‖xn+1-xn‖=‖βnxn+(1-βn)zn-xn‖=(1-βn)‖zn-xn‖

由式(1)和(4)有

‖yn+1-yn‖= ‖λn+1un+1+(1-λn+1)xn+1-[λnun+(1-λn)xn]‖=

(1-λn+1)‖xn+1-xn‖≤

由条件 有

(5)

(6)

类似于文献[4]的证明有

‖un-p‖2≤‖xn-p‖2-‖un-xn‖2

(7)

由式(1)和(7)及引理1的1)有

‖xn+1-p‖2≤αn‖f(xn)-p‖2+βn‖xn-p‖2+(1-αn-βn)‖Tdyn-p‖2=

αn‖f(xn)-p‖2+βn‖xn-p‖2+(1-αn-βn)‖yn-p‖2≤

αn‖f(xn)-p‖2+βn‖xn-p‖2+(1-αn-βn)(λn‖un-p‖2+

(1-λn)‖xn-p‖2)≤

αn‖f(xn)-p‖2+βn‖xn-p‖2+(1-αn-βn)λn(‖xn-p‖2-

‖un-xn‖2)+(1-αn-βn)(1-λn)‖xn-p‖2≤

αn‖f(xn)-p‖2+(1-αn)‖xn-p‖2-(1-αn-βn)λn‖un-xn‖2

从而有

(1-αn-βn)λn‖un-xn‖2≤‖xn-p‖2-‖xn+1-p‖2+αn‖f(xn)-p‖2≤

‖xn+1-xn‖(‖xn-p‖+‖xn+1-p‖)+αn‖f(xn)-p‖2

由式(6)和定理1条件(2) 有

(8)

于是

(9)

由式(1)有

(1-αn-βn)‖Tdyn-xn‖=‖xn+1-αnf(xn)-βnxn-(1-αn-βn)xn‖≤

‖xn+1-xn‖+αn‖f(xn)-xn‖

由式(8)和定理1条件(2)有

(10)

‖Tdxn-xn‖=‖Tdxn-Tdyn+Tdyn-xn‖≤‖yn-xn‖+‖Tdyn-xn‖

由式(9)和(10) 有

(a)先证q∈GMEP(F，φ，A).

由文献[4]的证明有q∈GMEP(F，φ，A).

(b)下证q∈Fix(Tα).

从而q∈Fix(Tα)∩GMEP(F，φ，A).于是由p=PΩf(p)及引理12)有

又〈f(p)-p，xn+1-p〉=〈f(p)-p，xn+1-xn〉+〈f(p)-p，xn-p〉≤‖f(p)-p‖‖xn+1-xn‖+〈f(p)-p，xn-p〉

由(3.1)和(3.3)式有

‖xn+1-p‖2=‖αnf(xn)+βnxn+(1-αn-βn)Tdyn-p‖2=

〈αnf(xn)+βnxn+(1-αn-βn)Tdyn-p，xn+1-p〉≤

αn〈f(xn)-p，xn+1-p〉+βn〈xn-p，xn+1-p〉+(1-αn-βn)〈Wnyn-p，xn+1-p〉≤

‖xn+1-p‖2≤[1-αn(1-α)]‖xn-p‖2+2αn〈f(p)-p，xn+1-p〉

[1] COMBETTES P L，HIRSTOAGO S A.Equilibrium programming in hilbert spaces [J].Nonlinear and Convex Analysis，2005，6( 5) :117-136.

[2] MARINO G，XU H K.Weak and strong convergence theorems for strict seudo-contractions in Hilbert spaces [J].Math.Anal.Appl.,2007，329:336-349.

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[4] 胡洪萍，王琳琳.广义混合均衡与不动点问题公共解的迭代算法[J].西安工业大学学报，2014，34(7)：526-532.

[5] 胡洪萍，周光亚.混合均衡问题与严格伪压缩映像不动点的粘性迭代逼近法[J].西安工业大学学报，2015，35(11)：865-870.

[6] XU H K.Iterative algor ithms for nonlinear operators [J].London Math Soc,2002,66:240-256.

[责任编辑 王新奇]

The Iterative Approximation Method for Equilibrium Problems and CommonFixed Points of the unlimited group k-Strict Pseudocontractive Mappings

ZHOU Guang-ya

(Department of Basic Courses, Sichuan Engineering Technical College, Deyang 618000, China)

An new iterative approximation method was defined in Hilbert space. Based on this method, the common solution was acquired simultaneously for the solution set of the equilibrium problems and fixed points of the unlimited group k-strict pseudocontractive mappings. The convergence theorem was obtained with the appropriate parameter restrictions.

mixed equilibrium problems; fixed points; k-strict pseudocontractive mapping; Hilbert space

1008-5564(2016)04-0001-05

2016-02-20

西安市科技计划项目(CXY1134WL05)

周光亚(1957—)，男，四川成都人，四川工程职业技术学院基础部副教授，主要从事非线性泛函分析与数学教育研究.

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