“似是而非”的几个不等式模型

浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)

洪建松 虞关寿



“似是而非”的几个不等式模型

浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)

洪建松 虞关寿

在近几年的各省市的高考试题与各地市的模拟试题中，我们经常碰到一些在语言描述中极为相似，但意义又不近相同的不等式形式，如“…任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，有f(x1)≤g(x2)成立…”与“…任意x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，有f(x1)≤g(x2)成立…”；又如“…对于x∈[a,b]，不等式k≤f(x)恒成立…”与“…对于x∈[a,b]，不等式k≤f(x)能成立…”等.对于这些问题的解决需要我们进行有效的等价转化，如何转化？转化之后所产生的不等式是不是一样的？本文想归类这些不等式模型，并通过对具体的案例分析，尝试找到解决这些问题的策略，为各位考生备考之用，不当之处谨请批评指正.

一、“任意、任意”型

若对任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求实数a的取值范围⟹f(x)maxg(x)max).

1.同一函数同一区间中的任意x1，x2型

例1 (2015年全国新课标Ⅱ卷理科 2)设函数f(x)=emx+x2-mx.

(1)证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；

(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围.

解析：(1)f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0，则当x∈(-∞,0)时，emx-1≤0,f′(x)<0;当x∈(0，,+∞)时，emx-1≥0，f′(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时，emx-1>0,f′(x)<0;当x∈(0，,+∞)时emx-1<0，f′(x)>0. ∴f(x)在x∈(-∞,0)单调递减，在x∈(0，,+∞)单调递增.

g(-m)≤0,即不等式成立；当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0,即em-m>e-1;当m<-1时，g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围为[-1,1].

2.不同函数同一区间中的任意x1，x2型

解析：∵|f(x1)|-|f(x2)|

3.不同函数不同区间中的任意x1，x2型

二、“任意、存在”型

若对任意x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求实数a的取值范围⟹f(x)maxg(x)max).

三、“存在、存在”型

若对存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求实数a的取值范围⟹f(x)ming(x)min).

四、“不等式恒成立”型

1.若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))恒成立，求实数k的范围⟹k≤f(x)min(k≥f(x)max)或构造h(x)=f(x)-k，h(x)min≥0(h(x)max≤0).

2.若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数y=f(x)的图像在函数y=g(x)图像上方.

一般采取四种处理手段：处理1：化归函数最值问题；处理2：分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)；处理3：变更主元(新函数)；处理4:数形结合.

解析：由题意可知f(x)=(log3x)2+2log3x+3,g(x)=log3x-2,令t=log3x∈[0,1],得m(t2+2t+3)+n(t-2)-4m>0,∴(t2+2t-1)m+n(t-2)>0对任意的t∈[0,1],m∈[-1,2]恒成立.

(★)处理1.分离参数法

(★)处理2.

综上，n<-2.

五、“不等式能成立”型

若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))能成立，求实数k的范围⟹k≤f(x)max(k≥f(x)min).

例7 (2015年全国新课标Ⅰ卷理科12).设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( ).

图1

解析：(法1)数形结合，如图1,设g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由题意问题转化为：存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线h(x)=ax-a的下方.

六、“不等式恰好成立”型

若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))恰好成立，求实数k的范围⟹k≤f(x)(k≥f(x))的解集为x∈[a,b].

例8 (2015年江苏省吴中区期末题)已知函数f(x)=x2-3x+m,g(x)=2x2-4x,若f(x)≥g(x)恰在x∈[-1,2]上成立，求实数m的取值范围.

解析：由题意问题即为x2-3x+m≥2x2-4x,即x2-x-m≤0的解集是[-1,2]，∴-1,2是方程x2-x-m=0的两根，∴-m=-1·2,∴m=2.

以上这些“似是而非”的几个不等式模型是近几年高考或各地模拟考的一个热门题型，往往与函数的恒成立、能成立等问题联系在一起，与函数的单调性、极值、最值等知识有关，考查学生的转化能力、分类讨论能力、数形结合等能力.