台湾数学研究现况（上）

于昕涛　赵宝山

台湾数学研究现况（上）

于昕涛赵宝山

前期研究概况

1970年以前，台湾仅有9人获得数学博士学位(均为留洋博士)，岛内只有几所大学有数学系，真正从事数学研究的人极少，且多集中在台湾中研院数学研究所。“国科会”（以下称台湾科技主管部门）于1965年在台湾大学出资设立“数学研究中心”，新竹清华大学和台湾中研院数学研究所作为合办机构，通过扩充研究设施、培育人才、举办各种类型的数学研讨会、邀请海外知名专家来台讲学、补助岛内研究人员赴海外出席国际会议等方式，以此鼓励岛内数学优秀青年钻研数学，充实师资。1973年又创办《中国数学杂志》，提供研究成果的发表园地。这些措施收到良好成效，奠定了岛内数学界研究基础，特别是在代数、几何、分析数学、应用数学四大类具有较强的地位。

从1965年起，台湾“数学研究中心”连续举办暑期数学研讨会，初期由海外有成就的数学家回台湾主持密集课程，以后由于留学海外的台湾学生陆续返回，岛内从事数学工作的人数日益增多，自上世纪80年代起改为由岛内数学界主持此类研讨会，并集中发表一年来自己的研究成果，相互学习。1985年，该中心举办首届台美微分方程研讨会，1988年又召开台法微分方程研讨会，极大促进与外国同行间的数学交流。

1983年，该中心改由台湾科技主管部门直属，其任务也重新确立为制定岛内数学学科的研究发展方向与重点，逐年策划及推动数学领域的长期合作研究，协助推动改进有关数学人才培育及数学教育，吸引海外已有成就而仍积极从事研究的数学专家学者回台湾讲学研究，举办学术性联系活动及对相关研究机构提供服务。

根据台湾科技主管部门下属“数学研究中心”的规划安排，将离散过程和大离差及其有关问题及应用作为台湾中研院和东吴大学的研究重点，数值计算研究作为台湾大学、政治大学、台湾中研院和淡江大学的研究重点，哈地空间和偏微分方程的分析及随机研究方法作为新竹清华大学、中央大学、成功大学、台湾大学的研究重点，李氏群离散子群的算术与几何性质研究作为新竹清华大学的研究重点，非线性偏微分方程式研究作为新竹交通大学、新竹清华大学的研究重点，计算器复杂问题研究作为中央大学和台湾中研院的研究重点。

1986年，该机构改名为“数学研究推动中心”，隶属于台湾科技主管部门下属“自然科学发展处”，由该处聘请中心主任，负责提交每年的服务计划(包括申请学术联系费、图书服务费等)，以协调推动岛内数学研究发展，并在每年度结束时，上交计划成果报告。中心主任定期与各学术小组召集人沟通、协调，并主动规划访问各校教授和学术带头人，组织开展相关交流活动诸事宜。

这些措施极大促进了岛内数学研究快速发展。根据1985年的统计，全台湾共有19所大学先后设立了数学系或应用数学系，并设有13个数学研究所或应用数学研究所。而仅在1988—1989年的两年间，就有20所高校新设立了数学系/所。到1992年，岛内大专院校数学系、所的教师与研究人员共有480人，其中获博士学位者有250人左右，经常向台湾科技主管部门申请研究资助的有95位数学博士。

表1　2013年台湾数学领域SCI论文的世界排名

设立“理论科学研究中心”

为尽快提升台湾数学及理论物理学研究水平，1997年8月，台湾科技主管部门接受杨振宁、丘成桐等多位著名学者的建议，在新竹清华大学校内设立“理论科学研究中心”（也称“北区中心”），另在台南市成功大学校内设立“南区中心”，近年又在台湾大学成立“台北办公室”，其任务是吸引杰出的数学家与理论物理学家加入该中心，鼓励开展数学领域与物理领域跨领域合作以及区域性合作研究，提倡与全球科学家进行国际交流、合作，并以成为亚太地区最卓越的数学与物理研究中心为目标。该中心2014年经费预算为8000万元新台币，比2013年增加了500万元。

目前，该中心设有数学组及理论物理组，每组各有其组主任、科学顾问委员会及学术委员会。其中，数学组现任代理主任（原主任为来自美国宾夕法尼亚州立大学的李文卿教授）许世壁主攻生物数学和动态系统，另一共同主任于靖主攻数论、代数和表现理论，数学组聘请来自岛内各大学和中研院的著名数学家（也称“中心科学家”），如陈宜良（主攻非线性偏微分方程、科学计算）、郑经斅（主攻非线性偏微分方程）、陈冠宇（主攻概率论、统计）、许顺吉（主攻概率论、统计）、林文伟（主攻科学计算）、张德健（主攻微分几何、几何分析）、邱鸿麟（主攻微分几何、几何分析）、张介玉（主攻数论、代数、表现理论）、朱家杰（主攻科学计算）、班荣超（主攻动态系统）、石至文（主攻动态系统）等人，另有十余名博士后及助理研究人员，每年还有数十位来自各地的访问学者，他们共同组成十几个重点研究团队，除开展各领域研究外，同时也注重探讨新的数学问题，开拓新的研究领域，以达到自我的突破并与国际接轨，为此不断招聘新的专题研究计划主持人，要求具有大学数学系教授或研究员以上资格，并在过去5年内曾连续执行台湾科技主管部门专题研究计划。

对于三相 SPWM，U相、V相、W 相互差2π/3，均可通过计算得到。根据以上分析，将采样计算设计成周期中断程序，中断程序流程如图7所示。

除了各小组个别规划该领域的活动外，该中心数学组还常常开展对外学术交流，举办国际性学术会议，邀请岛内外访问学者参与重点小组的学术活动。一些著名数学家还在中心内开设长、短期研究生课程，开放给全台湾所有研究生选修。

自2010年起，该中心数学组开始统筹举办“数学特别年”活动。每年选定一个主题，结合他们正在承担的专题研究计划的人力财力，共同筹组一些具有系统性、规模较大且有深度的活动，以便更有效地运用中心资源，让更多人受益，并藉此提升学术品质，加强相关领域学者间的互动与合作。2010年是“数论特别年”，2011 年的主题是几何，2012年是应用数学，2013年则是“代数几何与表示论特别年”。

在这一年，由该中心出面邀请外国知名专家学者来台开设短期课程，并举办国际会议，如邀请国际最著名的数学大师、法兰西学院的Jean-Pierre Serre教授（全世界唯一获得菲尔兹奖、沃尔夫奖和阿贝尔奖这三个数学大奖的学者）来台湾举办讲座，同时举办“算术几何与数论特别周”，邀请岛内外著名学者专家做学术演讲。其中美国普林斯顿大学的张寿武教授做了4小时的特殊系列演讲，英国剑桥大学的John Coates教授则开展3周的短期培训课程，令台湾同行及学生受益良多。

2014 年又是“数论特别年”，该中心邀请了加拿大多伦多大学的Kumar Murty教授、美国普林斯顿大学的Manjul Bhargava教授先后来台讲授专题短期课程，并与韩国浦项科技大学合办数论研讨会，举办迄今台湾最大的数论会议，主题是计算在数论中的应用，邀请了许多世界级的大师参与。

该中心数学组自2012年开始举办“与名师相会”系列活动，邀请世界级数学大师来此访问，介绍其学术贡献，并同时向其请教做学问及处事之道。活动内容除了演讲之外，还有一场论坛，由听众自由提问。2013年邀请了英国剑桥大学John Coates教授、法国法兰西学院的Jean-Pierre Serre教授、美国哈佛大学的姚鸿泽教授，以及台湾大学的于靖教授共4位名师。2014年受邀的学者为法国巴黎第七大学的Jean-Michel Bismut教授、香港大学的莫毅明教授、美国普林斯顿大学的Manjul Bhargava教授及台湾中研院的刘太平研究员。

2013年，该中心数学组还与北京清华大学数学科学中心签订合作备忘录，同年12月在该中心所举办的第三届华人应用数学家大会即是此共同合作的活动之一。

数学研究现状

如今，台湾的数学研究在国际上已小有名气，特别是在数值域理论、调和分析、算子理论和非线性分析理论的研究方面，其论文发表的质与量上皆已达国际一流水准，未来仍会有重要的成果出现。

根据台湾科技主管部门下属“数学研究推动中心”最新公布的《数学学门学门规划问卷调查》结果，目前岛内最活跃的大学数学系/所约有30余个，拥有专职教授/研究员300多人，副教授/副研究员及助教/助理研究员合起来也有近200人，另外还有数十位兼职研究人员，每年培养大学生约2000余人，硕士/博士300余人。

这些研究者大多根据不同地域或研究兴趣，分别组合成不同的研究团队。例如，在古典分析领域，有淡江大学和中央大学合作组成的研究团队；在泛函分析领域，有新竹交通大学和中山大学合作组成的研究团队；在调和分析领域，有新竹清华大学和中央大学合作组成的研究团队；在非线性分析与凸分析领域，有台师大、彰师大、成功大学和中山大学合作组成的研究团队等。

台湾中研院数学研究所历史悠久，其前身是1947☒7月成☒于昆明的中央研究院数学研究所，所长为姜☒夫，著名研究人员员有陈☒身、华罗庚、苏步青等人，研究范围为数论、抽象代数、级数论、微分几何学、☒朴学、数理统计等。

1948年底，该所原有18位研究和行政人员中有4人携部分图书资料赴台。所长姜立夫最初在台湾大学数学系做教授，1949年爆发台大学运事件后，姜立夫立即回大陆到广州岭南大学教书，从此再也没有回到台湾，由中研院总干事、前中央大学数学系系主任周鸿经兼任数学所代理所长。当时因条件所限，只能安顿于台湾大学的一间教室内，除购置图书及与海外学人保持联系外，所内研究工作一时陷于停顿。

表2　 台湾数学领域重要期刊论文发表情况

直至1957年台湾中研院在南港新址“复建”，数学所才重新开展工作，任用40岁的航空工程专家林致平担任所长，虽然当时经费拮据，编制又少，但仍培训了不少年轻数学人才，为今后的发展奠定了基础。

此后，刘世超和许振荣先后继任所长。1970年，前台湾大学数学系教授周元燊接任所长。在他们的艰苦努力下，极力向台当局争取扩增员额和经费，并开展机率论及统计学的研究，同时也适时实行数学推广及支持岛内数学教育的改革。1978年，由曾在美国普林斯顿高等研究院工作，后来在圣母大学、韦恩州立大学、西北大学、加州大学圣芭芭拉分校任教的樊圻继任所长。此时正值台湾经济起飞，研究经费大幅增长，编制员额也逐年增加，该所开始强调重视基础研究。

以后经过刘丰哲、李国伟、黄启瑞、刘太平几位所长的努力，该所的研究领域扩张迅速，图书及硬件设施也具一定规模，目前主要研究方向为：数学分析、数论与代数、几何、概率论、组合数学及其应用、流体力学与计算数学等，其研究成果都经常在相关领域的重要杂志及国际会议上发表。

该所现位于台湾大学总校区内的天文数学馆内，现任所长刘太平，目前有3位特聘研究员、20位研究员、4位副研究员，主要研究方向为数学分析、数论与代数、几何、机率论、组合数学及其应用、流体力学与计算数学，近年在几何分析、李代数和偏微分方程等方面皆取得国际一流的成果。

台湾中研院统计科学研究所成立于1987年，现任所长郑清水，目前有特聘研究员4名、研究员21名、副研究员5名、助研究员8名，以及26名博士后，研究方向涵盖数理统计及方法论、概率论及其应用、系统生物统计（生物信息学与遗传学）、工业统计、教育和行为统计与心理计量、空间及环境统计、机器与统计学习理论、功能性脑图像统计分析、财务数学、时间序列分析、实验设计、广义相关图、社会网络等。

以上这些数学研究机构每年共向台湾科技主管部门申请数学类专题研究计划约300余项，经费近2亿元新台币，主持人数300多人，担任助理的硕士生/博士生约400余人。若按数学领域划分，申请专题研究计划数量最多的依序为：微分方程、数学分析、离散数学、数值分析与计算数学、代数与数论、几何与拓扑学、概率论，但排序历年不尽相同。

最近几年，台湾数学研究人员平均每年发表论文数量约占全球数学论文总篇数的2%左右，平均每年被SCI收录的论文数量约4000多篇，世界排名第18位，相对影响系数约为1.07。每年发表论文最多的机构包括台湾中研院数学所、新竹清华大学数学系、新竹交通大学应用数学系、台湾师大数学系、台湾大学数学系、成功大学数学系、淡江大学数学系、彰化师大数学系、中原大学应用数学系、中山大学数学系、中央大学数学系、中兴大学应用数学系、中正大学数学系、东吴大学商业数学系、政治大学数学系等。

目前台湾数学界存在的主要问题是研究人员数量很少；除了几率、离散数学、偏微分方程外，许多领域里的研究人员都是孤军奋战。由于缺乏资金和行政支持，许多学者在教学与研究的双重压力下，不得不选择其一，使本来就少的人力更加缺少。

根据历年《台湾科技年鉴》、《“国科会”年报》及台湾科技主管部门下属“数学研究推动中心”发表的各种简讯、报告等资料揭示，目前台湾数学研究的领域主要有：逻辑、数论、有限群论、不可交换环、代数几何、交换代数、李代数、代数拓朴、微分拓朴、微分几何、调和分析、泛函分析、复变函数论、微分方程、几率、统计、离散数学、数值分析、计算理论、控制理论等。

数论与代数

在数论方面，多变数的模型式与大域函数体的超越数论是台学者研究的两个主要领域。在代数方面，有限维单代数所形成的Brauer群、Kac-Moody李代数的表现理论具有多项式恒等式的不可交换环也都有人研究。在分析方面，研究范围主要集中在算子理论与非线性泛函分析。在其它方面，如代数拓朴的同论理论、偏微分方程中的超线性椭圆形方程、离散数学的设计、图论以及几率方面的大离差等方面也有一定的研究。

近年来，台湾在算术几何的发展一直围绕着由“理论科学研究中心”与台湾中研院数学所组成的研究团队在进行，在函数体超越理论、Diophantine几何、值分布论、局部体动态系统，以及模空间算术方面都取得了重要的创新成果，是台湾最活跃的数学研究领域之一。研究人员年龄分布适当，在过去10☒里这个领域已在台湾培育了大量博士后研究人才，目前博士生的培养也已经进入轨道，做出了很好的博士论文。

表现数论分为代数表现与群表现两个研究主题，经过10☒的演化，现在已逐渐成为台湾代数研究的活跃领域，现在代数表现的研究主力是在台湾大学与成功大学，群表现的研究主力是在新竹清华大学与新竹交通大学，有许多年轻而高素质的研究人员做出出色的工作，预期未来可以获得突破性的成果。

在传统代数与数论方面，台湾只有个别人在研究交换代数，在台湾大学有研究团队在研究有限群作用与不变量，过去20年来曾获得领先国际的成果，是台湾代数研究的一个专门特色。传统数论在台湾是以基础的解析方法为主，处理特殊模函数及函数不等式。其中涉及模函数方面的研究在台湾也持续了20多年。非交换环论方面在台湾大学与成功大学都有研究团队，以往一直是台湾代数研究的主要方向。这些传统的领域，仍有不少古典的研究问题吸引台湾学者投入。