去伪存真，探求问题本质

江苏省苏州工业园区东沙湖学校(2151021)

张 超●



去伪存真，探求问题本质

——三角形中线等分面积问题的教学思考

江苏省苏州工业园区东沙湖学校(2151021)

张 超●

三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学-认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考.

一、习题呈现

如图1，已知△ABC，D,E,F分别是BC,AD和EC的中点，△ABC的面积为16，求△BEF的面积.

二、第一次教学

1.看似很简单，学生为什么不会做

2.反思失败之因

问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积？多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学.

三、第二次教学

3.1 教学更注重从形式到思想的点拨

提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)

提问2 如图3，△ABD与△ABC面积有怎样的联系？取AD中点E，如何比较S△BED与S△CED的大小，并说明它们与S△ABC有怎样的关系？(说明中线等分面积的实质)

提问3 在图4中，进一步，取EC中点F，连接BF探求S△EBD与S△ABC的关系(通过图形分离，层层推进，训练他们几何的逻辑思维)

3.2 进一步探究

如图5,△ABC的面积为S, D,E分别是BC,AC中点，连接AD,BE相交于点O,试比较的S△ABO与S四边形ODEC的大小.

解法点拨 仍从两条中线AD,BE入手，由这两条中线可以得到哪些三角形的面积？学生经过思考后得知, S△ABOS四边形ODEC与S△ABC并无明显数量关系，无法直接求解.但它们都可作为是△ABD与△BEC的一部分，引导学生从“整体”中分离出“部分”，进而求解.

3.3题型拓展

在上题的基础上，再取AB的中点F,连接FC如图6所示.(1)比较S△OFB与S△OEC的大小.(2)你还能在图中找出哪些三角形面积相等.

解析点拨 (1)有了上题从“整体”到部分的经验，学生很快得出S△OFB=S△OEC.对于问题(2)，学生们能列举出S△OFA=S△OFB,S△OAE=S△OBC，S△OBD=S△ODC，进一步得出S△OFA=S△ODC,S△OEA=S△OBD……细心观察的同学不难发现，△ABC三条中线把三角形分成的六个小部分的面积都相等.

3.4模型应用

如图7，△ABC中，D,E,F分别是CE，AF与BD的中点，已知△DEF的面积为1，求△ABC的面积.

解法分析 此题难点在于由题中三个中点，在△ABC中无法找到相应的中线，无从寻求△DEF与△ABC的面积关系.如何让D,E,F转化为相对应的中线是关键，连接AD,BE,CF使其转化成三角形的中线，添加辅助线构造三个三角形.

由图8所示，学生们很快能够表示出S△ABF,S△DBC,S△AEC,从而求出S△ABC.

从复杂图形中分离出简单模型，从“整体”到“部分”对研究对象求解，学生理解更为流畅自然.此时，他们不仅收获了这一类题的通法内涵，更为重要的是他们在思想层面上的领悟以及带来的自信与快乐，这是弥足珍贵的.从师生再到生生之间的交流，课堂中的灵动表现产生彼此信任不正是为师者不懈追求吗？

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