黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

刘 松

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)



黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

刘 松

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析及实变函数的核心内容, Lebesgue积分不仅蕴含了Riemann积分所达到的成果，而且还在较大程度克服了Riemann积分的局限性。从可积函数的连续性，积分极限定理，可积函数空间的完备性和微积分基本定理等方面详细阐述了黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性。

黎曼积分；勒贝格积分；可测函数

黎曼积分是微积分课程的主要内容之一，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的。然而黎曼积分还存在着较大的缺陷：黎曼积分是以“基本上”连续的函数为研究对象，从而黎曼可积的函数太少；积分与极限可交换的条件太苛刻，需用函数列的一致收敛条件来保证极限与积分运算的次序可交换；积分运算不完全是微分运算的逆运算等。随着人们对积分理论的深入研究，发现积分问题与函数的下方图形——点集的面积有关，Jordan在1982年建立了Jordan可测集理论。然而Jordan的测度理论存在着严重的缺陷，如有理数集不可测、存在不可测的开集等。Borel在1898年从开集出发构造了σ-代数，使得所有由开集生成的点集均可测，而且他的测度理论还具有可数可加性。但是 Borel没有把他的测度论和积分理论联系在一起。

目前，在应用上最广泛的测度和积分是法国数学家Lebesgue提出的，1902年，他在博士论文“积分、长度与面积”中提出的思想成为古典分析过渡到近代分析的转折点。Lebesgue积分理论是在Lebesgue测度论上建立起来的关于可测函数的积分理论，这一理论可以统一处理有界函数和无界函数的积分。同时Lebesgue还指出了Lebesgue可测集和Borel可测集的关系，且存在Lebesgue不可测集。Lebesgue积分不仅蕴含了Riemann积分所达到的成果，而且还在较大程度克服了Riemann积分的局限性。本文将首先介绍两者积分定义的区别，其次从可积函数的连续性、积分极限定理、可积函数空间的完备性和微积分基本定理等方面介绍黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性。

1 两种积分的定义

它们分别被称为相应于划分P的Darboux大和与Darboux小和。

从两种积分的的定义知，黎曼积分是对函数的定义域划分，勒贝格积分是对函数的值域划分，这是勒贝格积分与黎曼积分的本质区别。黎曼积分的优点是划分后的小区间长度容易给出，但是函数在其上的振幅可能较大，从而使得很多函数是黎曼不可积的；而勒贝格积分的优点是函数f(x)在Ek上的振幅一定不超过划分的细度，因此可测集上的有界函数都是勒贝格可积的，勒贝格积分在很大程度上扩大了可积函数类。这一点点差别，使得勒贝格积分具有一些黎曼积分所没有的良好性质。勒贝格积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的，这一理论可以统一处理函数有界与无界的情形，而且被积函数也可以定义在更一般的点集上。

2 黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

2.1 可积函数的连续性

黎曼积分的局限性表现在黎曼可积函数太少，黎曼可积函数是区间[a,b]上“基本上”连续的函数。例如Dirichlet函数

在[0,1]上处处不连续，从而D(x)是黎曼不可积。但是D(x)=0几乎处处于[0,1]，所以D(x)是勒贝格可积的，且其勒贝格积分等于零。

2.2 积分与极限次序的交换

在分析学中，经常遇到交换两种极限过程的次序，尤其是积分和函数列极限的交换。关于黎曼积分与勒贝格积分和函数列极限次序的交换有如下结论。

若存在非负函数F∈L(E)，使得对于∀n∈Ν，有

由于F∈L([0,1])，由控制收敛定理知积分和极限的次序可交换，即

由此可知，对于积分与极限运算的次序交换问题。在黎曼积分意义下，通常都是用函数列的一致收敛条件来保证积分与极限运算的次序可以交换。而在勒贝格积分意义下，由勒贝格控制收敛定理可知，只要很弱的条件就可交换积分与极限运算的次序。

2.3 可积函数空间的完备性

黎曼积分的另一局限性表现在可积函数空间的不完备性。记R([a,b])和L([a,b])分别为[a,b]上R可积函数全体和L可积函数全体，定义可积函数间的距离为

d(f,g)=∫ab|f(x)-g(x)|dx，

则R([a,b])按上述距离构成的距离空间是不完备的，而L([a,b])按上述距离构成的距离空间是完备的。在分析学中，空间的完备性具有重要的意义。

2.4 微积分基本定理

黎曼积分运算不完全是微分运算的逆运算，微分和积分之间的关系是微积分学的中枢：设f(x)在[a,b]上可微且f′(x)在[a,b]上可积，则有

∫axf ′(x)dx=f(x)-f(a),x∈[a,b]。

这就是说，先对f(x)进行微分运算再通过积分得到f(x)。显然，要使得微积分基本定理成立，f ′(x)必须是可积的。然而早在1881年，Volterra就给出了一个可微函数，其导数是有界的，但不是黎曼可积的。对于这样的函数，微积分基本定理不成立，这就说明黎曼积分运算部分的是微分运算的逆运算。

此外，需要指出的是：(1)黎曼积分对积分区域仅具有有限可加性，而勒贝格积分不仅具有有限可加性还具有可数可加性。(2)若f(x)在上黎曼可积，则f(x)在上勒贝格可积，且积分值相同。对于非负函数勒贝格积分也是黎曼反常积分的推广，但是在一般情况下，勒贝格积分不是黎曼反常积分的推广。如则f(x)在[0,+∞)上连续，且(R)，但是(L)∫0+∞f(x)dx=∞，所以f(x)不是勒贝格可积的。

[1] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2001:18.

[2] 程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010:123.

[3] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析:上[M].北京：高等教育出版社，2003：272-300.

[4] 潘学锋：浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别[J].甘肃联合大学学报(自然科学版)，2007，21(5)：99-102.

[5] 张良勇，董晓芳.浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J].高等函授学报，2006(19)：19-23.

[6] 黄蓉里.大学数学专业勒贝格积分思想的教学探讨[J].教育观察，2015(4)：43-44.

[7] 黄永峰.也谈黎曼积分与勒贝格积分的区别及联系[J].时代教育，2011(9)：14-15.

[责任编辑：张永军]

On The Shortcomings of Riemann Integral and Advantages of Lebesgue Integral

LIU Song

(School of Mathematical Sciences, Anhui university, Hefei 230601，China)

Riemann integral and Lebesgue integral are the key content of Mathematical Analysis and Real Functions, respectively. Lebesgue integral not only contains the achievements of Riemann integral, but also overcomes the drawbacks of Riemann integral in a large extent. This paper mainly introduces the shortcomings of Riemann integral and advantages of Lebesgue integral from the aspects of the continuity of integrable functions, integral limitation theorems, completeness of the space of integrable functions and fundamental theorem of calculus.

Riemann integral；Lebesgue integral；measurable function

2016-07-15

2016-08-03

安徽大学青年骨干教师培养项目(023033010264)资助。

刘 松(1981—)，男，安徽定远人，安徽大学数学科学学院副教授、博士。

O171

A

2096-2371(2016)04-0014-03