具有食饵避难所的Leslie-Gower捕食系统的捕获分析

杨燕，赵 春

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

具有食饵避难所的Leslie-Gower捕食系统的捕获分析

杨燕，赵 春

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

研究一类具有食饵避难所的Leslie-Gower捕食系统的捕获问题.首先分析了系统平衡态的存在性和稳定性条件，然后获得了经济平衡点的存在性条件，并分析了避难所对经济平衡点的影响，最后利用Pontryagin最大值原理得到了达到最优捕获的最优平衡解.

Leslie-Gower捕食系统；食饵避难所；存在性；稳定性；平衡点；最优捕获

种群动力学模型是描述种群与环境，种群之间相互竞争、相互作用的动力学关系的数学模型，用来预测、描述以及调节和控制物种的发展过程和发展趋势.其中，Leslie-Gower模型[1]和Lotka-Volterra模型[2]是捕食者-食饵系统中2类重要模型.Leslie-Gower模型体现了环境对捕食者的承载能力与食饵的数量成正相关，比一般的Lotka-Volterra模型更具有实际意义.因此，许多学者对Leslie-Gower捕食者-食饵模型进行了深入研究并取得了许多成果.文献[3]通过构造合适的Lyapunov函数证明了正平衡点的全局稳定性.文献[4]对加入避难所的模型进行分析，发现避难所对系统的持久性不会产生影响.文献[5]研究了具有捕获项的Leslie-Gower模型，详细分析了捕获的作用，发现在某种条件下捕获对食饵的平衡密度不产生影响，并得到达到最优捕获的平衡解.文献[6]对具有避难所的Leslie-Gower模型的最优税收问题进行分析，得到了达到最优税收量的最优平衡解.文献[7]研究了具有食饵避难所和Michaelis-Menten项的Leslie-Gower模型，得到了平衡解稳定性的条件以及最优收获的最优平衡解.文献[8]研究了具有Holling型功能反应的最优捕获策略.本研究考虑一类三种群捕食系统，将食饵种群（x）分为2部分，mx数量的食饵种群躲进避难所（0

其中：x（t）为食饵种群在t时刻的密度；y（t）、z（t）分别

为2个竞争捕食种群在t时刻的密度；r1、r2、r3分别为3个种群的内禀增长群；r1/a1＞0为x种群的环境容纳量；q1（1-m）＞0、q2＞0分别为对x、z种群的可捕系数；E1＞0、E2＞0分别为对食饵x与捕食者z进行收获的努力量.为了避免过度捕获，假设0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3.根据x、y、z的生物意义，仅在区域R+= {（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}内对系统（1）进行讨论.

1 正平衡点的存在性和稳定性

由0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3，通过简单计算得到正平衡点M（x*，y*，z*）存在，其中

显然内部平衡点x*、y*、z*满足下列方程组

定理1当ab-c＞0时，正平衡点M（x*，y*，z*）局部渐近稳定，其中

证明 系统（1）在正平衡点 M（x*，y*，z*）处的Jacobi矩阵为

特征多项式为λ3+aλ2+bλ+c=0.显然a＞0，b＞0，c＞0，由Routh-Hurwitz判据可得结论成立.

定理2 正平衡点M（x*，y*，z*）是全局渐近稳定的.

证明 构造函数V（x，y，z）

易知V（x，y，z）是关于x、y、z的连续函数，计算得

因此，当x=x*，y=y*，z=z*时，系统取全局最小值，即

沿着系统（1）对V（x，y，z）求导

2 经济平衡点

生物平衡点是系统（1）的平衡点，经济平衡点则是当经济利润最大时所求的平衡点.假设捕获x、z种群所需要的费用不变，分别用d1、d2表示，单位资源x、z的售价也为常数，分别用p1、p2表示.捕获2种群可获得的经济利润为

X1、X2分别为捕获x、z种群所得的经济利润.如果p1q1·（1-m）x＞d1，p2q2z＞d2，即捕获x、z种群所得的经济利润分别大于捕获该种群所需要的费用，这时才对2种群进行捕获.

定理3如果

则经济平衡点（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）存在.

证明 经济平衡点由下列方程组确定

显然当式（3）成立时，E1∞＞0，E2∞＞0.因此，经济平衡点（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）存在.

下面考虑避难所对经济平衡点的影响，分2种情况讨论:不能捕获到避难所内的食饵种群和可以捕获到避难所内的食饵种群.

Ⅰ不能捕获到避难所内的食饵种群.这时系统的经济平衡点（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）如定理3所述，且x1∞、y1∞、z1∞、E1∞、E2∞均是关于避难所m的连续可微函数，且

Ⅱ可以捕获到避难所内的食饵种群.假设p1q1x＞d1，p2q2z＞d2.这时捕获2种群所获得的经济利润为

定理4如果

证明 经济平衡点由下列方程组确定

在这种情况下，经营者可以捕获到避难所内的x种群，即避难所的大小对可捕获x种群的数量没有影响，所以在经济平衡时，x种群的密度不随避难所的变化而变化，而避难所的增大，使y、z种群的竞争加大，表现为y种群密度随着避难所的增大而减小.但是对于种群z而言，捕获所获得的利润减少，经营者便减少对z种群的捕获.2种作用力相互抵消，使得避难所的增大对z种群生物平衡不产生影响.随着避难所的增大，捕获x种群所获得利润有增大的趋势，经营者便加大对x种群的捕获，表现为增大；而捕获z种群所获得利润减少，表现为减小.

3 最优捕获策略

捕获者的目标是从资源开发中得到最大的净利润.考虑如下现值函数

其中δ为贴现率.本节通过确定最优捕获量E1=E1δ，E2=E2δ，使得J在满足状态方程（1）和控制约束条件0≤Ei（t）≤（Ei）max（i=1，2）时取得最大值，此时控制问题的Hamilton函数为

其中λ1、λ2、λ3为伴随变量.令

为转换函数.使H取最大值的最优控制应满足条件

当ψi（t）=0（i=1，2）时，Hamilton函数H与控制变量无关，即满足此条件的控制为奇异控制.奇异控制满足ψi（t）=0（i=1，2），即为

所以最优捕获策略应满足

下面寻求优化问题的最优平衡解，此时x、y、z、E1、E2均为常数，且满足系统（1）和式（7）～式（11）.下面结合求解伴随方程（9）～方程（11）.

由系统（1）可得

故式（12）和式（13）可表示为如下关于x、z的方程组

如果此方程组存在正实数根x=xδ，z=zδ，则可得

[1]LESLIE P H，GOWER J C.The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between species[J].Biometrica，1960，47（3）:219-234.

[2]陈婉琳，陈风德，王海娜，等.具有避难所的Lotka-Volterra竞争系统捕获分析[J].应用数学学报，2014，6（37）:1117-1129. CHEN W L，CHEN F D，WANG H N，et al.Harvesting analysis of a Lotka-Volterra competitive system incorporating a refuge[J].Acta MathematicaeApplicataeSinica，2014，6（37）：1117-1129（inChinese）.

[3]KOROBEINIKOV A.A Lyapunov function for Leslie-Gower predatorprey models[J].Applied Mathematics Letters，2001，14（6）：697-699.

[4]CHEN F D，CHEN L J，XIE X D.On a Leslie-Gower predator model incorporating a prey refuge[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications，2009，10（5）：2905-2908.

[5]ZHANG N，CHEN F D，SU Q Q，et al.Dynamic behaviors of a harvesting Leslie-Gower predator-prey model[J].Discrete Dynamics in Nature&Society，2011，43（1）：309-323.

[6]李有文，杨洪娴，田广立，等.具有食饵避难的Leslie-Gower最优税收模型分析[J].数学的实践与认识，2011，5（41）：238-243. LI Y W，YANG H X，TIAN G L，et al.Analysis of a harvested Leslie-Gower predator-prey model through optimal taxation[J].Mathematics in Practice and Theory，2011，5（41）：238-243（in Chinese）.

[7]GUPTA R P，BANERJEE M，CHANDRA P.Bifurcation analysis and control of Leslie-Gower predator-prey model with Michaelis-Menten type prey-harvesting[J].Differ Equ Dyn Syst，2012，20（6）：339-366.

[8]李雅芝，窦家维.一类3种群系统的动力学行为及优化问题研究[J].西南大学学报：自然科学版，2014，7（36）：73-78. LI Y Z，DOU J W.Dynamics and optimization of a three-population system[J].Journal of Southwest University：Natural Science Edition，2014，7（36）：73-78（in Chinese）.

（责任编校 马新光）

Harvesting analysis of a Leslie-Gower predator-prey system with prey refuge

YANG Yan，ZHAO Chun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The harvesting problem for a Leslie-Gower predator-prey system with prey refuge is studied.Firstly，the existence and stability of equilibrium states are analyzed.And then the existence of the equilibrium point is obtained，and the effect of the refuge on the equilibrium point is analyzed.Finally，the optimal harvesting policy is obtained by using the Pontryagin′s maximum principle.

Leslie-Gower predator-prey system；prey refuge；existence；stability；equilibrium point；optimal harvesting

O175

A

1671-1114（2016）04-0001-05

2015-12-08

国家自然科学基金资助项目（60972089）.

杨 燕（1991—），女，硕士研究生.

赵 春（1963—），男，教授，主要从事控制论及其应用方面的研究.