数形结合思想在解题中的应用
2016-12-12马力
马力
摘 要:数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式;“形”不仅仅指几何图形,还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料,以及用这些材料呈现数学信息的方式。
关键词:数形结合;以数助形;以形助数
数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简单。所谓“数形”结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。有些数量关系,借助于图形的性质,可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质,借助于数量的计量和分析,得以严谨化,能从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
用数形结合的思想解题可分两类:
类型之一 “数”到“形”的思想应用(以形助数)
题型一:数形结合思想在不等式组中的应用
例1(实数与数轴上的点的对应关系)求不等式组的整数解。
解析:解不等式1得x<2
解不等式2得x≥-1
∴原不等式组的解集为:-1≤x<2
结合数轴,直接可以读出不等式组的整数解为-1,0, 1
题型二:数形结合思想在逻辑推理题中的应用
例2:某班共30人,其中15人喜欢篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球却不喜欢乒乓球的人有
解:画出韦恩图
此题可以利用韦恩图,通过数形结合的思想使得题目更加直观形象化,简单化,便于解题。
题型三:数形结合思想在函数中的应用
例3:“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m