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数形结合思想在解题中的应用

2016-12-12马力

博览群书·教育 2016年9期
关键词:数形结合

马力

摘 要:数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式;“形”不仅仅指几何图形,还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料,以及用这些材料呈现数学信息的方式。

关键词:数形结合;以数助形;以形助数

数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简单。所谓“数形”结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。有些数量关系,借助于图形的性质,可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质,借助于数量的计量和分析,得以严谨化,能从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

用数形结合的思想解题可分两类:

类型之一 “数”到“形”的思想应用(以形助数)

题型一:数形结合思想在不等式组中的应用

例1(实数与数轴上的点的对应关系)求不等式组的整数解。

解析:解不等式1得x<2

解不等式2得x≥-1

∴原不等式组的解集为:-1≤x<2

结合数轴,直接可以读出不等式组的整数解为-1,0, 1

题型二:数形结合思想在逻辑推理题中的应用

例2:某班共30人,其中15人喜欢篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球却不喜欢乒乓球的人有

解:画出韦恩图

此题可以利用韦恩图,通过数形结合的思想使得题目更加直观形象化,简单化,便于解题。

题型三:数形结合思想在函数中的应用

例3:“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m

A . m

解析:根据题目中的要求,可以得出:若m、n(m

二次函数也好,一次函数也好,甚至是反比例函数,都可以结合图形使问题直观化,复杂问题简单化,体现了数形结合思想和转化思想。

题型四:数形结合思想在恒等证明中的应用

例4:已知x、y、z都是正数,且x2+y2=z2, z= x2 求证:rz=xy

解析:可以构造直角三角形,如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高

不妨设AB=y,BC=x,AC=z,BD=r,利用勾股定理可以得出AB2+BC2=AC2,即x2+y2=z2 ,结合射影定理BC2=AC·CD,即 z= x2 ,再结合三角形的面积计算方法,可以得出结论rz=xy,从中说明很多恒等式可以结合几何图形,能使问题的数量关系变得明显,推理变得轻松,书写变得简洁。(涉及到与平方有关的恒等证明,可以构造出与之对应的三角形或者圆。)

类型之二 “形”到“数”的思想应用(以数助形)

题型五:数形结合思想在几何证明题中的应用

例5:如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACD,求证:∠A=2∠E

解析:此题可以用代数的方法解决几何问题,设∠ABE=∠EBD=a , ∠ACE=∠ECD=b ,∠A=y,∠E=x,列出方程组得出y=2x,即∠A=2∠E,本题通过三角形的外角构造方程组,不是求方程组的解,而是利用未知数之间的关系达到解决问题的目的,从而使问题简单化。

数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。用我国著名的数学家华罗庚的一首词来总结就是: 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉,形少数时难入微。 数形结合百般好,隔离分家万事非。切莫忘,几何代数统一体, 永远联系,且莫分离。

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