速度图像在复杂运动中的运用

常明安

摘 要 文章通过对高中阶段物理教学中，对速度图像在复杂运动中的运用详细讲解，论述了如何在教学有效的促进学生将形象思维与逻辑思维的结合，提高物理问题解决的能力。

关键词 速度图像 速度所围面积 形象思维与逻辑思维

中图分类号：G63 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.10.065

Abstract Based on high school physics teaching， the application of image velocity in complex motion explain in detail， and discusses how to in teaching effectively promote students combination of image thinking and logical thinking， to improve the physical problem-solving ability.

Keywords velocity image； velocity surrounded area； image thinking and logical thinking

反映两个变量之间关系的规律最常用的有三种形式：分析法，图示法，表格法。其中图示法直观明显，可以在不知道具体规律的形式下反映变量间的关系，并能通过图像揭示出运动的规律。能够比较简单明了的解决物理问题。

高中阶段物体的运动图像是学生遇到的第一个反映物理规律的图象。图像利用得好，可以使运动问题解决变得简单明了，有利于提高学生运用数学思想解决物理问题的能力，加深学生对物理概念，规律的理解。

利用速度图像解决问题首先要明确图象表示的物理意义。其次重点要明确图像的斜率，与坐标轴所围面积的含义。

高中阶段用公式法一般只能处理匀速运动与匀变速运动的问题，即使匀变速运动的问题有些用公式的方法也显得太繁琐，甚至于解不出。因此速度图像在解题中就显出了优势，同时图像法解题也可强化学生对物理过程的分析。本文重点讲述利用速度图像法解决变速运动的问题。

运用速度图像解决物理问题的步骤：（1）根据物理规律找出图像的一些关键量（初始值，斜率，速度的变化趋势等）；（2）利用图像反映的规律（主要是面积）来进行比较解决物理问题。

例1：通过一轻质弹簧连接的A、B两物体质量相等，B长足够，在水平面上放置，如图1所示。开始时弹簧为自由伸展状态，运动过程中始终在弹性限度内，设所有接触面光滑。现在A上加一水平恒力，则A、B由静止开始到第一次运动速度相等过程中，下述选项正确的是（ ）

A.在A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

B.在A、B的速度相等时，A的速度达到最大

C.在A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

D.在A、B加速度相等时，系统的机械能最大

解析：物体A、B正确分析受力情况和运动过程是解决本题的要点。在运动过程中A、B两物体受到的弹簧弹力是变化的，合力（加速度）也随之变化，高中难于定性解决。若使用速度图象可使该类问题极大简化。

水平方向A、B受力分析如图2，弹簧的拉力为F1。由牛顿第二定律： A： = = ，B： = = 。在F1变大过程中A的合力（加速度）随F1增大一直减小，物体A作加速度不断减小的加速运动。B的合力（加速度）随F1增大一直增大，作加速度不断增大的加速运动。

A、B均由静止开始加速，达到共同加速度前，>，A的速度增加大于B的速度增加。 = 时 = ，此时A的速度大于B的速度。达到共同加速度后，因A比B速度大， A、B间距离（弹簧长度）继续变大，之后A的合力（加速度）一直小于B的合力（加速度）<。因此A增加的速度小于B增加的速度，直至达到相同大小的速度。依据上述特征，作出从静止开始运动到第一次速度相等的过程中两物体运动的图象。

根据图像假设时刻，两物体加速度相等，时刻速度曲线的切线斜率相同。由图像知两平行的切线间在处的竖直线段即速度差最大，选项C正确。两物体在时刻的速度相等，这时两物体的相对位移最大（两实线之间围成的面积有最大值），弹簧被拉到最长。故A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。同时在时刻A的速度最大。A、B与弹簧系统除重力和弹簧弹力外，只有外力F对系统作正功。根据功能关系，系统机械能增加。时刻后拉力对系统继续做正功，机械能继续增加，故A、B加速度相等时，系统机械能并非最大值。故 ABC正确。

例2：如图（图3）AB为倾斜放置的平直木板，一小物块放在木板的顶端。木板与小物块间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，长板上P点距A端较近。物块由静止开始滑到底端B。然后对调平板的两端，使A端触地且保持倾角不变，物块由静止开始滑到底端A。比较两过程，下述说法一定正确的是（ ）

A.两过程中物块在底端的速度相等

B.两过程中物块从顶端滑到底端的时间，后一过程较短

C.两过程在P点的动能，后一过程较大

D.两过程物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，后一过程较多

解析：从A到B端与从B滑到A端的过程，滑动摩檫力大小变化，但在对应的各微元段相等，故此两种情况下滑动摩檫力所做的总功功相等，重力做功相等。由动能定理，两种情况下物体滑到底端的速度相等，选项A正确。由牛顿定律，加速度由A到B逐渐增大，由B到A逐渐减小。同时两过程位移相等。因此BA过程的速度端点不能在AB过程的右侧，也不能与AB的端点重合，因为这样BA速度图像下方与时间轴所围的面积（位移）大于乙下方的面积（位移）。所以只能在AB端点的左侧。作出物块运动图像（图4）。由图像知B正确。比较物体在两种运动情况中中点处与P点处速度。物体均作加速运动。故物体从A到B，>。从B到A，<。利用动能定理，在两种情况下物块开始下滑到中点过程，重力做功相同。A向B摩擦力做的功大于由B向A摩擦力做的功，故>，比较以上关系后得>>>。C正确。物块从顶端滑到P点的过程中，产生的热量等于摩擦力做功。A到B摩擦力大，位移小。B到A摩擦力小但位移大。故无法明确比较摩擦功产生的热量。D不一定正确。

例3：如图5所示，有一竖直平面内的闭合椭圆形管道内壁光滑，通过椭圆中心O点的水平线为MN。一小球从M点以初速率出发的，沿管道运动到N点。当沿MPN运动到N点时，速率为，时间为；若沿管道MQN运动，到N点的速率为，时间为。则下述说法正确的是（ ）

A. = ，> B.<，>

C. = ，< D.<，<

解析：本题考查机械能守恒定律、类比法与图像方法解题，考查“化曲为直”的思维能力。根据机械能守恒，小球沿管道MQN与MPN到达N处速度相等v1=v2=v0。又小球在轨道上运动时，根据化曲为直的方法，沿着轨道作切线，加速度就以切线为斜面计算。这样沿MPN时，先减速后加速，加速度先减小后增大。沿着MQN时，先加速后减速，加速度也是先减小后增大。两个运动过程的曲线下方的面积相等（两种运动的路程相等）。依据上述条件，根据以上分析，作出v-t图像如图（图6），可得>。选项A正确。

结语：一般的变速问题除了匀变速外，高中一般只能定性求解，或者用微元法解，这样求解数学过程很繁琐。而图像在处理以上非匀变速非线性变化物理问题中显出了相当的优越性。同时在速度图像的绘制过程中也能锻炼学生对物理问题的分析应用能力，有效的促进学生形象思维与逻辑思维的结合，进而提高学生解决物理问题的能力。