求解非线性抛物组的新算法

陈传淼+胡宏伶

摘 要 本文提出了双插值有限元法求解一类非线性抛物组，它对未知函数和系数都采用了插值，于是某些常数矩阵可一次性计算好，每时间层组装刚度矩阵很简单.它是一种经济格式.

关键词 非线性抛物组；有限元；双插值；经济格式

中图分类号 O241.82 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2016）05-0081-02

Abstract The bi-interpolation finite element method for solving nonlinear parabolic systems is proposed， in which both unknowns and their coefficients are interpolated， so some constant matrixes can be computed in one time， whereas at each time level the assembly stiffness matrixes are very simple. This is an economic scheme.

Key words nonlinear parabolic systems； finte element method； bi-interpolation； economic scheme

随着科学技术的发展，非线性抛物问题出现在许多实验领域，如高温传输、核聚变、半导体、超导、石油开发、金融和图像识别等.本文特别关注核聚变中的三温计算问题.

在经典有限元法或有限体积法中，虽然有多种格式离散非线性抛物问题.但数值求解的主要困难是计算工作量极其巨大.

1）每个时间层的离散工作量巨大.

2）牛顿法求解非线性方程组需3～4次线性化（计算切矩阵）.

3）必须计算数千数万时间层.

三种困难交织在一起成为大规模求解的主要困难之一，因此发展高效算法有重要意义.

由此看到，双插值有限元法有以下3个优点：

1） 像ICFEM一样，矩阵Kijp，Mij可一次性算好，组装Kij（U），Mij（U）很简单；

2） 对多未知变量方程组适用，只要系数a（u），b（u），c（u）与t，x无关即可.特别地，核聚变中的三温方程正好可以变换为这种散度形式.

3） 如何高效求解非线性方程组（7），是另一个重要问题[5]，将在其他论文讨论.

参考文献：

[1]ZLAMAL M. A finite element method of the nonlinear heat equation[J]. RAIRO Model Anal Numer， 1980，（14）：203-216.

[2]CHEN C M， LARSSON S， ZHANG N Y. Error estimates of optimal order for finite element methods with interpolated coefficients for the nonlinear heat equation[J]. IMA J Numer Anal， 1989，（9）：507-524.

[3]陈传淼，黄云清.有限元高精度理论[M].长沙：湖南科技出版社，1995.

[4]陈传淼.有限元超收敛构造理论[M].长沙：湖南科技出版社，2001.

[5]HU H L， CHEN C M， PAN K J. Time extrapolation algorithm for parabolic problems[J]. J Comput Math， 2014，32（2）：183-194.

（编辑 HWJ）