“数形两相依”“永远莫分离”

周艳红

华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微。数形结合是最重要的数学思想方法之一.同时数形结合并不等同于严格的证明，又是一把双刃剑，用得好事半功倍，用不好就会在不知不觉中出现错误.我们应力求避免学生在数形结合中的典型错误，充分发挥数形结合的作用，使抽象变直观，复杂变简单”。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。数与形是两种事物，把这两种事物变得有形化。

现我就对数形结合的应用谈以下几点看法：

1、数形结合，利于激发学生兴趣，把抽象的数学概念直观化

数学，在学生看来是枯燥的、抽象的。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦～～！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。 再如：9的口诀，引导学生在10乘10的方格纸上涂色。1个9，第一行涂9个，10少1；2个9，涂二行，20少2……如此下去，简明直观，一目了然。

2、数形结合，利于发展学生思维

如果在学生获得知识和解决问题的过程中让学生观察、实验、分析、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是灵活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。如，在讲《11—20》各数认识这节课中，我先引导学生用小棒1根1根数到10 ，提问接着怎么数？ 学生自然地说：“零散的表示10个1，10个1是1个10， 捆成1捆，整捆的小棒表示1个10，然后再添上1根是11。那在计数器上怎样拨出11呢？学生一下子就拨出来了。我又问：“十位上的1和个位上的1表示的意义一样吗？”学生很自信地说：“十位上的1表示一个10，个位上的1表示一个1。通过摆小棒，计数器使学生理解一个十和几个1合起来是十几。这个过程是边数边摆边拨边说组成边读数的活动过程.，给了学生较大的空间，让学生自己探索学习，从中又培养了学生观察、动手操作的能力，从而发展了学生的思维。再如，学习“植树问题”时，先与学生们一起玩手指游戏。先出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔。”……从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数=间隔数+1。其实在进行植树问题时，可以和学生们上一节间隔问题的种子课。就是“间”和“隔”让孩子们明白是两种“形”，这样学生有了形的参照。再下一步认识的植树问题时，数与形的结合，让孩子们认识到这是两种事物的表现。对于二年级学生来说是最容易理解的。

例如：情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”如果有了上面种子课的认识“间”和“隔”，那么树和树与树之间的空这两种有形的实物在学生脑海了就能呈现出“形”的样子。然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数=间隔数+1。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，把数和形结合起来，使抽象的数学知识形象化。这样做既可使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象逻辑思维与形象思维紧密结合起来，以利于发展学生的思维能力。

数形结合是我们解决问题的润滑剂，它能变抽象为直观，变复杂为简单，所以它是数学的重要思想之一，可有时也会栽跟头。如果“形”直根于学生的思维，其实什么问题的数学思考都会水到渠成。我们数学问题的理解全部都离不开数与形的有机结合。用好这把“双刃剑”可以让我们的教学如鱼得水。