考虑统计过程控制影响的时间延迟生产系统预防维修优化模型

陈洪根

(郑州航空工业管理学院 管理工程学院，郑州 450015)



考虑统计过程控制影响的时间延迟生产系统预防维修优化模型

陈洪根

(郑州航空工业管理学院 管理工程学院，郑州 450015)

针对时间延迟生产系统，研究考虑了统计过程控制影响的预防维修优化问题。首先，根据导致停机维修的原因不同，分析和建立了时间延迟生产系统在考虑统计过程控制时可能存在的运行状态；然后在对各种运行状态发生概率分析基础上，通过对周期期望更新成本和更新周期长度的研究，利用更新过程理论建立了以系统长期运行单位时间期望费用最小为目标的预防维修优化数学模型。最后，针对具体算例将本文模型同没有考虑统计过程质量监控的维修决策模型进行了比较分析，结果表明本文模型由于进一步综合考虑和利用了质量控制图监测结果对系统运行状态的反应信息和知识，能减少系统性能退化运行质量损失和延长预防维修周期，因此在节约成本方面更具经济性。

预防维修；统计过程控制；时间延迟生产系统；优化模型

(School of Management Engineering, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015, China)

0 引言

作为生产系统尤其是关键设备提高或保持运行可靠性和安全性的一种有效措施，预防维修可以有效防止故障事件的发生，实现降低设备生产损失的目标。为了能够确定一个合理的预防维修间隔期，避免由于维修间隔周期定的太短造成维修过量或者由于维修间隔周期定的太长造成维修不足问题，国内外学者对此开展了深入研究，并形成了大量研究成果[1-3]。随着对故障复杂性及其与生产相关性认识的不断发展，维修优化已呈现出由基于单一故障模式、单一维修任务、维修独立规划向基于多种关联故障模式[4-5]、多维修任务[6-7]、维修与生产计划联合规划[8-9]等方向发展的趋势。近年来，虽然有些学者针对统计过程控制和设备维修在保障产品制造质量等方面的紧密关联及其相互影响关系，在进行维修优化时考虑了统计过程控制对维修决策的影响[10-12]，但未考虑设备由性能退化到停机故障的时间延迟问题，因而在实践应用中存在一定局限性。为此，本文将针对延迟时间生产系统，研究建立考虑统计过程质量监控的预防维修优化模型。

1 系统定义和维修策略分析

生产系统是一个时间延迟生产系统，即系统在运行过程中随着运行时间的变化会发生性能退化，若性能退化状况一直得不到维修将会进一步恶化成可直接观察的停机故障事件；系统性能退化不可直接观察到但会导致系统的输出质量特性发生变化，且输出质量特性变化可用质量控制图进行监控。由于控制图对过程质量的监控结果可以间接的对设备性能退化状态进行判定和识别，因此在具有统计过程控制后，根据导致停机维修的原因不同，生产系统的运行可以分为以下三种不同状态：由控制图报警形成的检测维修、控制图未报警但在预防维修期限内系统进一步恶化成停机故障的故障维修、控制图未报警生产系统也未发生故障最后运行到达预防维修点的预防维修。如果考虑控制图存在误报和漏报的情况，以上三种情况可进一步细分为以下五种状态：

S1：设备正常即生产过程质量受控，控制图未误报警，设备运行到预防维修点停机维修；

S2：设备正常即生产过程质量受控，控制图发生误报警，设备在报警点停机维修；

S3：设备性能退化导致生产过程质量失控，控制图报警，设备在报警点停机维修，形成检测维修；

S4：设备性能退化导致生产过程质量失控，控制图漏报警但设备在预防维修期限内进一步恶化成停机故障，设备在停机故障点进行维修；

S5：设备性能退化导致生产过程质量失控，控制图漏报警且设备在预防维修期限内未恶化成停机故障，设备在预防维修点停机维修。

在S1状态下，设备性能虽未退化但运行时间已达预防维修点，根据预防维修规划，需对相关零部件进行预防更换，因此形成预防维修策略。S2状态下，设备未发生性能退化，无需对零部件进行更换只需进行添加润滑等补偿性维护工作，因此形成补偿性检测维修策略。S3状态下，设备发生了性能退化，需要根据要求对相关零部件尤其是性能退化零部件进行维修更换，因此形成纠正性检测维修策略。S4状态下，由于控制图的漏报设备的性能退化已恶化成停机故障，因此形成故障维修策略。S5状态下，由于控制图的漏报设备的性能退化虽然尚未转化为停机故障，但运行时间已达预防维修点，根据预防维修规划，必须对相关零部件进行更换以防止生产质量损失的进一步扩大，因此形成预防维修策略。

针对上述特征系统，本文将以系统长期运行单位时间期望费用最小为目标，建立考虑统计过程质量监控影响的时间延迟系统预防维修优化模型。

2 假设和参数

为了建立优化决策模型，首先须对系统的相关假设和参数进行定义。

2.1 模型假设

(1)系统性能退化发生的时间U为随机变量，密度函数为f(u)，分布函数为F(u)；

(2)系统的性能退化进一步发展为停机故障的延迟时间H为随机变量, 密度函数为g(h)，分布函数为G(h)；

(3)系统输出质量特性X～N(μ,σ2)，系统正常时μ=μ0，系统性能退化时过程质量的均值发生漂移且μ=μ0+δ；

(5)产品抽样检测的时间很短，可忽略不计；

(6)设备停机立即进行维修，维修后立即重新投入运行，所有维修都使设备修复如新。

2.2 模型参数和变量

相关参数和变量设置及其内容和属性如表1所示。

表1 模型参数和变量定义

3 模型构建

由于系统每次维修都修复如新，因此系统运行属于更新过程。由系统定义和维修策略分析内容可知，更新周期为生产设备的相邻两次维修间隔期。

3.1 各种运行状态发生概率的计算

记P(Si)(i=1,2,3,4,5)为Si状态发生的概率，则一个更新周期内各种运行状态发生的概率计算如下：

对于S1状态，记l为预防维修周期Ta内发生抽检的次数，其值等于预防维修周期和抽样间隔期的商的整数部分，即l=[Ta/h]，则有：

P(S1) =P(Ta时间内系统一直未发生性能退化∩l次抽检控制图均未误发信号)=[1-F(Ta)](1-a)l

(1)

对于S2状态，假设控制图在第i(i=1,2,…,l)次抽检时发出错误报警信号，其发生概率为：

P(ti) =P(ih时间内系统一直未发生性能退化∩第i次抽检控制图误发信号)=[1-F(ih)](1-a)i-1a

(2)

考虑所有可能的i值，可以得到S2发生的概率为：

(3)

对于S3状态，假设控制图在第j(j=1,2,…,l)次抽检发出正确报警信号，系统性能退化时间x发生在第r(r=1,…,j)个抽样间隔期[(r-1)h,rh]内，则在第j次抽检时检出系统发生性能退化的概率为:

P(tj) =P(系统性能退化时间x发生在第r个抽样间隔期内∩控制图在第j次抽检发出正确报警信号∩从第1到第r-1次抽检控制图均未误报∩从第r到第j次抽检控制图均发生漏报)=

(4)

考虑所有可能的j值，可以得出S3发生的概率为：

(5)

对于S4状态，系统故障停机时间y和性能退化时间x存在三种可能情况。

第一种情况：x和y都发生在预防维修周期的最后一次抽检之后的[lh,Ta]时期内。由于y发生在x之后，因此这种情况发生的概率为：

P1(S4)=(1-a)l×∫Talhf(x)dx∫Taxg(y-x)dy

(6)

第二种情况：x和y都发生在除[lh,Ta]之外的同一个抽样间隔期内。假设发生在第k个抽样间隔期[(k-1)h,kh]内，由于y发生在x之后，因此这种情况发生的概率为：

(7)

第三种情况：x和y都发生在除[lh,Ta]之外的不同抽样间隔期内。假设系统故障停机时间y发生在第m(m=2,…,l)个抽样间隔期[(m-1)h,mh]，系统性能退化时间x发生在第r(r=1,…,m-1)个抽样间隔期[(r-1)h,rh]内，则此种情况下在第m个抽样间隔期内系统故障停机的概率为：

(8)

考虑所有可能的m值，则可以得到第三种情况发生的概率为：

(9)

由式(5)，(6)和(8)可得，S4状态发生的概率为：

P(S4)=P1(S4)+P2(S4)+P3(S4)

(10)

对于S5状态，系统性能退化时间x的发生存在两种可能情况。

第一种情况：x发生在第r(r=1,…,l)个抽样间隔期[(r-1)h,rh]内。由于系统在[x,Ta]区间内一直处于未转化为故障停机的性能退化的运行状态且控制图一直漏报，因此可得此种情况发生的概率为：

(11)

第二种情况：x发生在预防维修周期的最后一次抽检之后的[lh,Ta]时期内。此种情况发生的概率为：

(12)

由式(10)和(11)可得，S5状态发生的概率为：

P(S5)=P1(S5)+P2(S5)

(13)

3.2 系统更新时间长度

(1)设备期望运行时长

S1状态下设备运行到预防维修点Ta处停机维修，由式(1)得此时设备的期望运行时长为：

EOTS1=Ta×P(S1)

(14)

S2状态下设备运行到控制图报警点ih处停机维修。考虑所有的i值，由式(2)得此时设备的期望运行时长为：

(15)

S3状态下设备运行到控制图报警点jh处停机维修。考虑所有的j值，由式(4)得此时设备的期望运行时长为：

(16)

S4状态下设备运行到停机故障点y处停机维修。考虑y值的所有情况，由式(6)～(9)得此时设备的期望运行时长为：

∫rh(r-1)hf(x)dx∫mh(m-1)hy×g(y-x)dy(1-a)r-1βm-r

(17)

S5状态下设备运行到预防维修点Ta处停机维修，由式(11)～(13)得此时设备的期望运行时长为：

EOTS5=Ta×P(S5)

(18)

综上，设备期望运行总时长为：

EOT=EOTS1+EOTS2+EOTS3+EOTS4+EOTS5

(19)

(2)设备期望维修时长

在一个更新周期内，系统的维修时间长度等于不同状态下的期望维修时间之和。由于S1和S5是预防维修，S2是补偿性维修，S3是纠正性维修，S4是故障维修，则由式(1)、(3)、(5)、(10)、(13)可得设备期望维修时长为：

EMT=Tm1×[P(S1)+P(S5)]+Tm2×

P(S2)+Tm3×P(S3)+Tm4×P(S4)

(20)

(3)系统更新时间长度

在一个更新周期内，系统的时间长度包括设备运行时长和维修时长两部分。由式(19)和(20)可得系统更新时间长度为：

ET=EOT+EMT

(21)

3.3 系统更新费用损失

在一个更新周期内，系统的费用损失包含维修成本、抽检成本、质量损失和生产损失四部分。由系统定义和维修策略分析可知，每个更新周期，其过程的全概率事件由S1,S2,S3,S4,S5组成。因此一个更新周期的各类费用损失等于以上五种状态的期望维修费用之和。

(1)设备维修成本ECM

本系统中，S1和S5执行的都是状态维修，S2执行的是补偿性检测维修，S3执行的是纠正性检测维修，S4执行的是故障维修。根据表1的各种维修策略的成本参数，可得一个更新周期的设备维修成本为：

ECM=Cm1×P(S1)+Cm2×P(S2)+Cm3×

P(S3)+Cm4×P(S4)+Cm1×P(S5)

(22)

(2)产品质量抽样检测成本ECI

产品质量抽样检测成本包括固定抽检成本和可变抽检成本，其中可变抽检成本与样本容量有关。根据表1的抽检成本和控制图样本容量参数，可得每次抽检的成本为：

CI=(Cs1+Cs2×n)

(23)

由系统定义和维修策略分析可知，状态S1发生的抽检次数为固定常数l；状态S2发生的抽检次数为i(i=1,2,…,l)；状态S3发生的抽检次数为j(j=1,2,…,l)；状态S4下三种情况发生的抽检次数分别为l,k-1,m-1(其中k,=1,2,…,l；m=2,3,…,l)；状态S5下两种情况发生的抽检次数均为l，由此可得一个更新周期的产品质量抽检成本为：

(24)

(3)质量损失ECQ

本文的质量损失是指生产过程中没有达到要求质量所造成的损失。本系统5种可能状态中，S1和S2过程受控，S3、S4和S5过程失控，若已知过程受控和失控时的单位时间质量损失分别为Cl1和Cl2，则由式(14)～(18)可得总期望质量损失为：

(25)

(4)生产损失ECP

本文的生产损失是指由于停机维修造成的产值损失，其值与生产率、单位产品损失和停机时间有关。若已知系统的生产率为PR，停产时单位产品损失为Clp，则由式(20)可得总期望生产损失为：

ECP=PR×Clp×EMT

(26)

综上所述，一个更新周期的总期望费用为：

EC=ECM+ECI+ECQ+ECP

(27)

3.4 决策目标函数

根据更新报酬理论，无限使用条件下系统的单位时间期望费用等于一个更新周期的单位时间期望费用，则由式(21)和(27)可得，以TA为预防维修周期的系统长期使用单位时间期望费用为：

(28)

系统的优化目标就是确定合适的预防维修周期Ta，使得系统长期运行单位时间期望费用EC(Ta)最小，即minEC(Ta)。

4 数值计算

表2 模型参数值

基于上述基本数据，根据本文模型利用Matlab软件进行遗传算法编程，求解得最优预防维修周期Ta=3102.64，单位时间维修成本ECTU=58.7843。

(29)

(30)

此种情况下，每种更新策略的质量损失等于其受控时期望质量损失和失控时期望质量损失之和。假设一个更新周期内预防更新时系统的期望质量损失成本为ECQp，故障更新时系统的期望质量损失为ECQf，则分析可得：

(31)

(32)

由此可建立决策模型：

(33)

利用MATLAB软件进行遗传算法编程，求解得未考虑过程质量监控影响模型的最优预防维修周期T′a=3016.3，单位时间维修成本ECTU′=389.2>ECTU=58.7843。

由以上结果可知，本文模型相对于未考虑过程质量监控影响模型具有显著成本优势，其原因主要来自于两方面：一是本文模型通过过程质量监控结果信息的利用，能够及时发现系统性能的退化，减少了系统性能退化的运行时间，避免了系统性能退化运行带来的高额质量损失；二是本文模型由过程质量监控结果形成的各类维修，虽然带来了一定成本，但这种成本相对于故障维修要低的多，更为重要的是由此提高了可修系统的可靠性，从而降低了系统故障发生的概率，延长了预防维修周期(由3016.3延长至3102.64)，由此进一步促进了单位时间成本的降低。

5 总结

本文将延迟时间模型和统计过程质量监控结合起来，研究了具有五种类型状态的设备预防维修问题，并以期望单位时间费用最小为目标，基于统计过程质量监控建立了停机故障存在时间延迟的生产系统预防维修优化模型。与不考虑统计过程质量监控影响的维修优化模型比较结果表明，本文的优化模型由于进一步综合考虑和利用了质量控制图监测结果对系统运行状态的反应信息和知识，能减少系统性能退化运行质量损失和延长预防维修周期，因而能实现生产系统运行成本的进一步降低，提升系统生产效益。在实际应用过程中，为了更好发挥优化模型的优势，可进一步对各种参数关于决策变量的敏感性进行分析。

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(编辑 李秀敏)

Optimizing Model of Preventive Maintenance on Delay-time Production

System Associated with SPC Effects Considered

CHEN Hong-gen

For delay-time production system, an optimizing problem of preventive maintenance is discussed when effects on system caused by statistical process control (SPC) are considered. Firstly, running scenarios for the delay-time production system of SPC-considered are analyzed and established according to different maintenance causes. On the basis of analysis of the occurrence probability associated with each running scenario, the cycle expected renew cost and time is researched and an optimizing model of preventive maintenance is presented to find the minimization average cost per unit time according to renew theory. Finally, a numerical example is given to compare the application between proposed model and the delay-time model of unconsidering SPC effects. The results show the proposed model has superior economy.

preventive maintenance; SPC; delay-time production system; optimizing model

1001-2265(2016)11-0149-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.040

2016-01-18

国家自然科学基金项目(U1404702,U1204702)；航空科学基金项目(2013ZG55024, 2014ZG55021)；河南省教育厅人文社会科学研究重点项目(2014-ZD-010)；河南省青年骨干教师支持计划项目(2013GGJS-144);河南省高等学校重点科研项目(17A630072)

陈洪根(1979—)，男，江西吉水人，郑州航空工业管理学院副教授，博士，研究方向为质量与可靠性工程，(E-mail)microwr@163.com。

TH122;TG506

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