两连架杆垂直位形直线导路机构综合及分析

钱卫香，崔建鹏

(1. 西安科技大学 机械工程学院，西安 710054；2. 航天四院41所，西安 710025)



两连架杆垂直位形直线导路机构综合及分析

钱卫香，崔建鹏

(1. 西安科技大学 机械工程学院，西安 710054；2. 航天四院41所，西安 710025)

当两连架杆处于垂直位形时，在给定机架长度和欲逼近直线上的点及方向角的条件下，采用解析几何法并结合计算机可视化技术建立机构综合模型求解满足运动学要求的具有三阶密切直线机构全解。针对无穷多近似直线机构寻优难问题，分析综合机构的直线性能及其它感兴趣的运动学属性并实现机构属性的图形可视化，施加运动学约束，计算可行机构图形解域，从中寻找全局最优机构解，最后通过设计示例验证综合模型与分析方法的正确性和可行性。

直线导路机构；机构综合；鲍尔点；曲率驻点曲线

0 引言

基于运动几何学理论[1]，鲍尔点是拐点圆(连杆平面上瞬时曲率半径为无穷大的点集合)与曲率驻点曲线(连杆平面上瞬时曲率为驻点的点集合)在极点之外的交点。鲍尔点(Ball点)的运动轨迹与直线间至少具有三阶的密切，因此鲍尔点常用于综合高精度直线导路机构[2-4]。当机构处于特定位形时，三次曲率驻点曲线可退化为二次曲线和直线。本文在一般位形含鲍尔点直线机构综合问题[5]的研究基础上，探讨当两连架杆处于垂直位形时，在给定机架长度和欲逼近直线上的点及方向角的条件下，采用解析几何法并结合计算机可视化技术求解满足运动学要求的具有三阶密切直线机构全解的综合方法，分析综合机构的直线性能及其它感兴趣的运动学属性并实现机构属性的图形可视化，有效地解决无穷机构寻优难问题。

1 机构综合模型

在图1所示直角坐标系中，给定机架长度r，欲逼近直线上的点C(xC，yC)(鲍尔点)及其方向角β(β∈[-π/2,+π/2]，由垂直方向逆时针转至欲逼近直线CC′时β角取正值，反之β角取负值，图1所示位置β角为正)，要求综合直线导路机构使机构的初始位形处于两连架杆垂直位置。

待确定的量为直线导引机构两个定铰点A0(xA0，yA0)、B0(xB0，yB0)和两个动铰点A(xA，yA)、B(xB，yB)。

动点A和B绕各自定铰点作圆弧运动，为曲率不变点，同时连杆点C是鲍尔点，故动点A、B、C均应满足曲率-驻点曲线方程：

1/R=1/(Msinα)+1/(Ncosα)

(1)

其中，α、R分别为动点所在极射线与极切线Pt的夹角和极点P到动点之矢量长，M、N为瞬时不变量。

图1 数学模型

当两连架杆处于垂直位形时，欲满足A、B、C三点均在曲率-驻点曲线上，该驻点曲线需退化分解成一条与极切线Pt重合的直线和一条与极法线Pn重合的直线，退化后的驻点曲线方程(1)简化为：

(2)

此时， A、C点位于极法线Pn上，B点位于极切线Pt上，由式(2)得cosα1=cosαa=0，sinαb=0，则有：

(3)

其中，α1、αa和αb分别表示动点所在极射线PC、PA和PB与极切线Pt的夹角。

连杆点C位于拐圆上，由拐圆方程[6-7]得：

1/PC=1/(dsinα1)

(4)

拐圆圆心位于极法线Pn上，且鲍尔点C与拐极W重合，故拐圆直径d=PC。

定铰点A0位于过C点理想直线的法线上，定义定铰点A0距离鲍尔点C的相对偏距s=CA0/r(s∈(-∞,+∞)，即CA0=s·r，如图1所示)，则有：

(5)

由机架长度计算定铰点B0(xB0，yB0)坐标，且极点P与定铰点B0重合：

(6)

由Euler-Savary方程得其几何表达式[8-9]：

AA0×AJA=PA2

(7)

式(7)中，PA是AA0与AJA线段的比例中项，且点A0、点JA始终位于A点同侧，其中拐点JA与鲍尔点C重合。由式(7)推导出：

(8)

由式(8)可知，当s=-2时，连架杆AA0趋向于无穷长，动点A趋向于无穷远，机构方案不可行；当s=-1时，A0A=A0C=r，连杆平面上动点A与鲍尔点C重合，连杆曲线为圆或圆弧，机构直线性能差，设计者在方案甄选时宜避开s=-1值附近的机构解。

在A0、P和JA点(即C点)位置确定后可计算动点A的坐标：

(9)

动铰点B可在极切线Pt所在直线上任意选取，定义动点B距离极点P的相对偏距e=BP/r(考虑机构对称性，e∈(0,+∞)，即BP=BB0=e·r，见图1)，则B点坐标为：

(10)

2 综合示例

已知机架长度r=80，欲逼近直线上的点C(70，90)及方向角β=40°，且两连架杆A0A与B0B所在直线相互垂直，要求设计满足如上位形的直线导引机构。

机构综合模型中含两个独立设计变量：定铰点A0距离鲍尔点C的相对偏距s和动点B距离极点P的相对偏距e。对于任意给定的参数s、e(s>0，e>0)的取值可综合出一个机构。通过改变参数s、e值将得到无穷多直移机构设计方案。

(a)e=0.4，s=-0.2、1.0

(b)s=0.5，e=0.2、1.3图2 综合所得机构及连杆曲线

3 机构属性分布图

按综合模型设计所得无穷多机构并不都是工程实用的，甚至大部分为不可行机构，而直观准确的机构属性图能帮助设计者从无穷多方案中高效快捷地甄选出满足运动学要求的高精度直线机构。

文中涉及到的主要机构属性包括：机构类型、杆长比lmin/lmax、最小传动角γmin、近似直线长度L、直线偏离度δ，其中后两个属性反映机构直线性能，作如下定义：近似直线长度L是连杆曲线上的轨迹点与理想直线间的距离不超过允许偏差Δ时，连杆曲线沿理想直线方向的最大连续长度；直线偏离度δ是在给定的机构直移区段l内，连杆曲线上的轨迹点与理想直线间的最大距离，如图3所示。

图3 近似直线长度和直线偏离度

建立机构解域直角坐标系，横纵坐标分别取综合模型中的两个设计变量：偏距s和e。任意给定两个设计变量值均对应解域平面内一个坐标点，计算解域内各坐标点综合所得机构感兴趣的机构属性，并实现图形绘制。

图4所示为机构类型及最小传动角分布图，其中用粗实线分割不同类型的机构，数字1～5分别表示曲柄摇杆机构、双曲柄机构、外外摆动、内外摆动和内内摆动三摇杆机构[10]；在曲柄存在区域用等值线图反映最小传动角变化趋势，等值线(细实线)上数值为机构最小传动角γmin，其中双曲柄机构区域，最小传动角等值线由外圈10°向内逐渐递增，梯度为10°。图5所示为杆长比lmin/lmax(A0B0、A0A、AB、B0B、AC、BC六杆件中最小杆长与最大杆长之比)三维mesh图。

图4 机构类型及最小传动角分布图

图5 杆长比lmin/lmax分布图

图6所示为给定机构直移区段(例如取直移距离l=40，并取鲍尔点C为直移段中点)的直线偏离度δ三维mesh图，其总体变化趋势为当s值趋向-1时偏离度大；远离-1时偏离度值快速下降。图7所示为给定直线允许偏差Δ(例如取Δ=0.1)的近似直线长度L等值线图。图6、图7均反映出大部分解域e值的变化对偏直线性能影响较小。

图6 直线偏离度δ(l=40)

图7 近似直线长度L(Δ=0.1)

4 方案甄选

若考虑施加如下运动学约束条件：杆长条件：单个杆件长度不超过200；杆长比lmin/lmax≥0.1；机构类型：曲柄摇杆或双曲柄机构，最小传动角不小于30°；给定直线允许偏差Δ=0.1，希望直移距离不小于40。设计要求寻找满足以上约束条件的高精度直线导路机构。

计算过程：

(1)设计者根据机构装配空间条件及计算精度要求设定感兴趣的设计变量取值范围及计算步长。本例中取值范围：-5≤s≤5，s≠-2，0≤e≤5；计算步长：Δs=Δe=0.01。

(2)在取值区间内按计算步长改变设计变量取值，计算两两组合综合所得机构的各项结构参数和性能参数，包括最大杆长、杆长比、机构类型、最小传动角；逐项检查各约束条件，满足全部约束条件的机构为可行机构解，只要有一个约束条件不满足，该机构解为不可行方案，后续计算不再考虑。

(3)根据设计要求确定评价函数，可以在给定直线允许偏差内追求尽可能大的直移长度，也可以是在一定的机构直移区段内希望有尽可能小的直线偏离度，改变评价函数，所述寻优方法同样适用。本例以在给定直线允许偏差Δ=0.1的范围内具有最长直移距离为寻优目标。

(4)绘制由可行机构解构成的平面域，称为可行机构解域(图7所示粗实线所包围区域)。在可行机构解域上依次计算各可行解的近似直线长度，比较筛选出全局最优机构解，如图8所示。其性能参数和结构参数见表1。

图8 综合所得机构

结构参数性能参数seA0点坐标B0点坐标A点坐标B点坐标机构类型lmaxlminlmaxγmin近似直线长度L1．450．48(160．46，128)(229．74，168)(180．54，139．59)(248．94，134．74)曲柄摇杆199．73(BC)0．1231．9044．10

5 结论

本文采用解析几何法并结合计算机图形技术综合两连架杆处于垂直位形的直线导路机构。建立机构综合模型求解满足直线度要求及其它运动学条件的高精度直线机构，计算分析机构运动学常规属性及直线性能，实现机构属性的图形可视化及无穷多机构解的直观准确寻优。方法的提出为该类机构提供了一种先进有效的综合方法和手段，是对直线机构综合理论和方法的丰富和完善。

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(编辑 李秀敏)

Synthesis and Analysis on Straight-line Guiding Mechanism with Two Vertical Rotating Links

QIAN Wei-xiang1，CUI Jian-peng2

(1.School of Mechanical Engineering, Xi'an University of Science and Technology, Xi'an 710054, China;2.The 41st Institute of the Fourth Academy of CASC, Xi'an 710025, China)

For given frame length, a point on the prescribed straight line and its orientation, the mathematical model under the configuration of two vertical rotating links was established by the method of analytic geometry and computer visualization technology. It can be used to solve all of possible straight-line mechanism solutions with three-order osculating straight lines which meet preset kinematic demands. But it is difficult to select desired straight-line mechanisms. Mechanism properties of interested including straightness were analyzed and the graphical visualization of the property information was implemented. Feasible solution regions adhering to design constraints were visually represented. And it can guide designers to find the global optimal mechanism. The results of synthesis examples verified the correctness and effectiveness of the proposed model and method.

straight line guiding mechanism; mechanism synthesis; ball point; curvature stagnation point curve

1001-2265(2016)11-0060-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.017

2016-01-18

钱卫香(1975—)，女，河北昌黎人，西安科技大学副教授，博士，研究方向为现代设计理论与方法、机构学，(E-mail)qianwx2003@163.com。

TH112.1;TG506

A