几何复习试卷的讲评

曹经富

试卷讲评课作为一种重要课型的作用，一是查缺纠错。将试卷中表现出来的错误归类与讲评。二是拓展提升。通过一题多变、一题多解等帮助学生构建空间与图形间联系，在讲评中提升解题经验。三是激发学生的学习热情。重视学生心理因素，充分肯定班级整体优势，发现学生的进步或不足，对试卷中的独到之处及时给予鼓励，帮助考试不佳者分析失败原因，使他们能正确认识自我，不断进取。四是进一步反思与改进后一阶段的复习。对答题中存在的问题，及时弥补改进。为此，笔者结合几何专题复习——“空间与图形（不含圆）”的测试卷进行讲评。

讲评目标：

1.通过试卷分析，了解自己知识上的漏洞，查漏补缺，通过一题多变、一题多解等，进一步增强与弥补相关知识，提高分析、审题及解题能力，拓展解题方法与思路技巧。

2.经历自主订正错题过程，了解解题格式、规范答题的重要性；通过小组合作，相互讲解与订正，体验自主与合作学习，形成互帮互助的学习氛围，体会帮助他人的成就感和提高自己的语言分析、表达能力。

重点：在具体情境（实物图、几何图形、图形变换、动态操作）中，感受与发现相关图形的形状、位置及大小关系的作图、计算、证明及探究的过程中出现错误的原因，提炼解题方法，通过一题多变、一题多解等激活解题思维，注重知识的整合、基本思想方法、活动经验的渗透。

教学过程：

【第一环节】课前纠错与反思

1.学生自查与自主纠错（课前完成）：课前让学生认真分析试卷，自查自纠，分析每道题的出错原因，把做错的题进行错因归类，初步订正错题。

2.学生完成试题反思诊断表（详见试卷）

【设计意图】学生由于考场气氛、时间紧张等因素导致一些题目的失误，可能考试后或下发试卷时就已经明白，自己可以改正，所以应留出让学生自己领悟的时间。

【第二环节】课堂讲评与变式拓展、提升

（一） 考试情况简析

1.成绩分布图

本次考试最高分89分，最低分33分，平均分64.94分，及格人数37人。

点名表扬学习有进步、答题比较好的学生。

2.学生存在的主要问题：

（1）知识性错误，基础知识掌握不牢，不会分析问题或没有基本的解题思路。

（2）逻辑性错误，所进行的推理论证没有符合逻辑规则，不能正确把握题中的关键词语。计算题的解题格式不够规范，计算能力较差。

（3）策略性错误，知识迁移能力较差，缺乏分析和解决问题的能力。

（4）心理性错误。粗心大意，审题不清。

【设计意图】 “教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”试卷讲评课应保持和强化这些心理动机。因此，在讲评中应不断鼓励学生，及时肯定、积极点燃他们智慧的火花；对于那些本身基础不好，本次考试仍不理想的同学，可在批改的试卷上写出鼓励语言，尤其是试卷中的闪光点及好的方面加以肯定，激发他们内在的潜能。

（二）试卷问题归类讲评与突破

【类型一】图形变换及相关形状、位置、大小把握不准导致出错

第5题 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，扭动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）。

一题多变：

（1）图1-2中四边形ABCD面积是否变化？若会变化，求出变化后的面积。

（2）是否存在图②四边形ABCD的面积是图①四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出∠B的度数；若不存在，说明理由。

【设计意图】讲评与设计时应注重某些数学元素（点、线、生活实物、三角板学具等）的摆放，注重以基本图形（特殊三角形、四边形等）为背景进行必要的一题多变，借助相关点、线、图的变换操作，酝酿与生成特殊图形的形状、位置及大小（线段、角度、周长、面积）关系的计算。

讲评与设计时还应注重以无图或不完整图的形式，训练学生对题目条件的把握、分析与审题能力。此类错误属于策略性错误，错解或漏解的原因往往与忽视其中所涉及的分类有关。如涉及点在线上运动的位置时，要分清直线、射线还是线段及边界点；涉及等腰三角形时，要分清是等腰直角三角形、等腰钝角三角形还是等腰锐角三角形；涉及平行四边形时，要分清已知线段是边还是对角线；涉及旋转时，应明确旋转方向、旋转角度及旋转中心等。第11题可一题多变为：在x轴上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如存在，求点P的坐标，如不存在，说明理由。这些都以无图的形式探究平行四边形、等腰三角形，即线段AB可能为平行四边形的边（等腰三角形的腰），也可能为平行四边形的对角线（等腰三角形的底），进行分析与画图求解。

【类型二】 几何情景图不能正确转化、建模与解决

第4题 过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图，它的左视图是（ ）

一题多变：（1）它的俯视图是（ ）

（2）如图3，若正方体的棱长为2cm，一只蚂蚁由顶点A沿表面爬行到顶点B的最短路程是 cm。

（3）如图3，画出这个几何体的两种平面展开图。

【设计意图】讲评时应注重现实生活情景中的实物（几何体）的三视图、表面展开图与几何体之间的内在联系及转化，如第4题及一题多变，错解的原因：一是对俯视图下正投影理解不准；二是对看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线掌握不够，导致错选。同时还应注重训练学生在具体情境中构建数学模型（三角函数），进而运用相关知识，分析与解决现实生活中的许多实际问题（计算、测量、可行性等）。

【类型三】动态几何中未能化动为静，在变与不变中突破

第17题 如图，等边三角形OAC的边长是2，点O与原点重合，点B是x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限内作等边三角形ABE。

（1）如图4，当EB⊥x轴时，求点E的坐标和直线CE的解析式；

（2）连接CE，如图5，

①判断CE与BO是否相等，并说明理由；

②设点E的横坐标为m，求点E的坐标（用含有m的代数式表示），并判断点E是否一定在（1）中所求直线上，并说明理由。

第17题的变式题：如图①，已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△OBC和△EBC都是等边三角形。

（1）求证：∠CDE=90°。

（2）如图②，当点D恰好落在BC上时，

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上求点P的坐标，使△PEC为等腰三角形；

③如图③，点M是线段BC上的动点（点B、C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化，如不会变化，写出MH+MG的值，如会变化，简要说明理由。

【设计意图】讲评时应注重选取有研究价值、能变化拓展的几何图形（三角形、四边形、圆）、素材或数学活动，如第17题及变式题以两个等边三角形为背景，借助相关顶点的重合与动态操作，即通过相关点动、线动、图动或一定的变换操作与实验等，或以数学问题为引导；酝酿与构建相关量的变与不变，使相关数学结论与情景发生很大的变化，进而发现问题，创新问题，侧重训练与培养感性直觉和理性思考。这种试题的命题方向有：①对已有的数学知识和方法进行推广和拓展；②对某些定理和公式进行深化和延伸；③对未知的数学领域通过探索得到新的结果。试题在注重考查相关基础知识、基本技能、方法的同时，更注重考查对相关知识的综合运用、探究、创新。在讲评过程中，为了训练学生的求异思维，倡导在一题多解，即思考能否用三种方法求解MH+MG的值。

【第三环节】总结与提升

1.在这节课中你学到了什么，你的收获有哪些？

2.老师温馨建议：

（1）审题时注重知识与思想方法的运用

同学们在考试时常常匆匆一看试题就急于下笔，尤其是对题目中条件与要求、隐含的数学信息、蕴含的数学思想方法挖掘不够，造成解题费时，甚至出错，如第8、13题。

（2）书写要注意完整规范

做证明题时不能做到步步有据等，这样就出现了“对而不全”的情况。常见的解题不规范有：①几何证明过程不完整、跳步；②论证繁琐，书写马虎。这些都要引起同学们的警戒。

解答有关几何题，涉及添加辅助线要用作图几何语言说明，并用虚线，相关几何推理、证明尽量简明清晰，思路严谨、清楚。

在第17题（1）中，要写出辅助线的作图过程（得分点），同时注意坐标的符号、线段长度的非负性之间的相互转化。如第17题（2）①中，要注意先回答问题，再证明或说明理由；在第17题（2）②中切不可直接写直线解析式，应详细写出待定系数法求解直线解析式的过程。当确定直线所需相关点坐标未知时，应先写出求解相关点坐标的过程。

3.注意答题顺序

有的同学喜欢按照自己的喜好，有的甚至先做大题再做小题，随意性强。合理的方法其实是按先易后难、先简后繁的顺序作答。解题过程碰到难题可先放放，避免浪费与消耗更多的时间，而应先做完会做的题目，再去攻克难题，注意前紧后松，为后续检查留出时间。

【设计意图】“复习不是为了修补坍塌的建筑物”，而是“添建一层新的楼房”，此环节旨在拓展学生的思维空间，培养学生的学习能力。

【第四环节】布置作业，开展自我评价与小组评价

必做：将错题收入错题本

【设计意图】试卷中所反映出来的问题大部分是教学过程中的重点和难点，学生不大可能一次讲评后就完全掌握。因此讲评完后，还应采取必要的措施和时间使让学生消化理解讲评过的内容，以巩固与强化课堂学习效果。

【第五环节】教学反思

一、针对学生试卷中的错误，优化讲评试卷内容。本节几何讲评分为三类：一是图形变换及相关形状、位置、大小把握不准导致出错；二是几何情景图不能正确转化、建模与解决；三是动态几何中未能化动为静，在变与不变中突破。

二、有效的几何复习讲评活动不能单纯地依赖教师的“一言堂”，针对学生“听懂”但“不会做”的情况，教师除了对试卷内容能整体构思与分类讲评，还应对重点、难点、易错点进行一题多解、一题多变，将原题中的已知条件、结论等进行改动，然后再让学生重新分析、求解，使学生知其然，更知其所以然。一节高质量的数学试卷讲评课，需要教师精心准备、择其要点、延伸发散、有效讲评、及时反思，做到纠正一例、预防一片、评讲一法、会解一类、触类旁通，提升学生解题能力，使复习试卷的讲评课真正有效、有益。

对复习试卷的讲评既是一种教研态度、教学方法、教学能力的运用，更是一门复习教学的艺术，教学实践的创新。其中教学方法、过程因人而异，讲评艺术有其自身的教学规律，如果在复习教学中不敢越雷池半步，或者跳不出复习讲评课的束缚，都会直接影响到自己的教学效果和教学水平的提升，哪怕是教师对教学内容烂熟于心。特别是在当今的课程改革浪潮不断深入人心以及一标多本、一本常变的今天，如果教育者对试卷的处理方法过于简单，或墨守成规甚至是漠视，都有可能导致自己处于一种无所适从、被人淘汰的境地。

（作者单位：江西省吉安市白鹭洲中学）

□责任编辑 陈莉红

E-mail：jysclh@126.com