盘点向量运算，直击向量应用

安徽省合肥中科大附中 黄严生 高龙锦

盘点向量运算，直击向量应用

安徽省合肥中科大附中 黄严生 高龙锦

向量是数学中重要且基本的数学概念。向量既有大小又有方向，既有代数属性又有几何属性，是沟通代数、几何与三角函数的工具，为我们利用代数方法研究几何问题提供了方法和思路。本文将从如何利用向量的线性运算和数量积运算解决问题等方面，对向量的应用进行讨论和分析。

一、向量的线性运算

1.知识盘点

（1）向量的线性运算有加法、减法和数乘，加法和减法有三角形法则和平行四边法则，数乘就是一个实数与一个向量相乘，其结果仍是一个向量，所得的向量与原向量共线。

（2）向量共线定理：对于向量a、b（b为非零向量），向量a、b共线⇔存在唯一实数，使a=λb。

若A、B、C三点共线，且点O异于A、B、C，根据向量的减法运算有，将它们代入上式，可得，整理可得。

特别说明，零向量与任何向量均共线，零向量的方向是任意的。

利用向量线性运算可以解决点点共线、线线平行以及线段的等分等问题。

（3）向量基本定理与向量的坐标表示：

如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2（e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底）。

在平面向量的运算中，我们经常选取适当的基底，将问题中的向量用基底表示，然后进行基底向量之间的运算。

若在平面直角坐标系中，选择单位正交基底i、j，方向分别与平面坐标系中x轴和y轴的正方向相同，那么平面中任何一个向量a都可以表示为a=xi+yj，（x，y）叫作向量a的坐标，于是a用坐标表示为a=（x，y）。因此，向量的坐标表示是向量基本定理的一种特殊形式。

2.应用透视

例1 已知向量e1、e2不共线，，若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值。

②利用向量共线可以证明线线平行问题，但要注意线线平行与向量平行之间的区别与联系。两直线平行，则直线的方向向量一定平行，但向量平行，表示向量的有向线段可能平行，也有可能共线，这里不一一举例。

例2 如右图，已知△OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，DC和OA交于点E，求的值。

思考 ①利用向量解决几何问题，首先要选取适当的基底，然后用基底表示相关的向量，最后利用向量共线定理，建立方程组解出参数的值；

②O、E、A三点共线，同学们易于发现，但C、E、D三点共线，在解题中往往被忽视，从而导致解题受阻。

二、向量的数量积

1.知识盘点

向量a、b是非零向量，a·b=|a||b|cos〈a，b〉，零向量与任何向量的数量积均为实数零。

值得注意的是，向量的数量积有别于向量的线性运算，向量线性运算的结果仍然是一个向量，但两个向量的数量积是一个实数。

利用向量的数量积，可以解决距离问题、夹角问题、线线垂直问题等。

2.应用透视

例3 在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点为O（0，0），A（3，λ），B（4，-3），∠AOB为锐角，求实数λ的值。

思考 两个向量的夹角是锐角，能推出这两个向量的数量积大于零，但两个向量的数量积大于零，不能推出它们的夹角为锐角：当两个非零向量同向时，其数量积也大于零；同样，两个向量的夹角是钝角，能推出这两个向量的数量积小于零，但两个向量的数量积小于零，不能推出它们的夹角为钝角：当两个非零向量反向时，其数量积也小于零。因此，利用向量的数量积来研究夹角问题时，要特别注意共线情况。解答中第二个不等式也可以根据不共线，用不等式4λ+9≠0表示，更加简单、方便。

例4 在圆O中，若弦AB=3，AC=5，AB、AC不过圆心，求的值。

思考 对数学概念的理解要透彻。如果只是死记硬背，我们就不能发现，也就不能有效地解答问题。另外，在解题时，还要充分利用几何图形的性质，这样可以简化计算。

三、探究与深化

探究 将圆心为O一个圆周n（n≥2，n∈N*）等分，所得的等分点按逆时针顺序依次为A1， A2，…，An-1，An，求。

一方面，旋转后圆周上点A1，A2，…，An-1，An分别旋转到A2，…，An-1，An，A1的位置，虽然点的位置发生改变，但它们的和向量没有改变，仍有；

思考 本题根据对n取偶数和n=3得到的结论，提出猜想，然后证明猜想，这也是解决问题时常用的一种方法。

通过以上实例，我们可以发现向量解决数学问题的威力。向量为我们解决数学问题提供了一种新的途径和方法，能有效实现抽象问题形象化，复杂问题代数化，几何问题代数化，代数问题几何化。向量既是代数对象，又是几何对象，“一身兼二任”，所以许多图形的几何性质都可以用向量的运算表示出来，这样我们就可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如直线的平行、垂直等），确定几何图形的长度、面积、夹角等。

用向量方法解决几何题的基本思路是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系。向量运算能把一个思辨过程变为一个计算过程，可以按照一定的“程序”进行运算，从而降低了思维难度。