基于白噪声分析理论的Spin Glasses能量模型

韩 琦,成 丹,韦仁童,何明珍

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)



基于白噪声分析理论的Spin Glasses能量模型

韩 琦,成 丹,韦仁童,何明珍

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

使用白噪声分析理论研究Spin Glasses随机能量模型,对Derrida极限定理进行了推广;在白噪声分析框架下,给出了基于指数映射的极限定理，并提出了白噪声分析框架下的随机模型.

Spin Glasses能量模型;自由能;配分函数;指数泛函

1 预备知识

Spin Glasses作为一个高度复杂无序系统的典型范例日益受到学者的关注[1-3].基于Spin Glasses产生了许多能量模型,如 Sherrington-Kirkpatrick模型[2]、p-Spin模型[3]等，由Derrida建立的随机能量模型就是一种既简单又具代表性的模型.

Derrida的工作可以概括为如下形式的极限定理:

本文基于白噪声分析理论讨论Derrida随机能量模型,基本思想是:在白噪声分析框架下,取“单粒子空间”的一个标准正交系,用以代替随机能量模型的构形空间ΣN={-1,1}N;借助于白噪声映射W得到一族对称Gauss随机变量,以代替Derrida随机能量模型中的Hamilton能量函数.

2 主要结果

证明 设

另一方面,

故

(-ln2+Nlnq+lnaN+β sN)=

基于引理1,下面给出Derrida定理的一个推广.

(1)

证明 由

(2)

另一方面,由引理1可知

(3)

结合(2),(3)式可知(1)式成立. 】

(4)

证明 设

则由引理1可知

故

从而

(5)

又因为

取上极限得

(6)

结合(5),(6)式可知(4)式成立. 】

接下来给出基于白噪声分析框架的极限定理,为此先定义一个函数gN(q,β).

定义1 设q,N为正整数,且q≥2,实数β>0,令

将定理1,2中的对称Gauss随机变量替换为白噪声空间中的指数泛函,则得到如下结论:

定理3 设q,N为正整数,且q≥2,则对于β>0,有

从而

(7)

又由定理2可知

(8)

将(7)式代入(8)式即得定理结论. 】

最后,给出基于白噪声分析框架的模型的物理意义.

(9)

[1] TALAGRAND M.UpperandLowerBoundsforStochasticProcesses:ModernMethodsandClassicalProblems[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge.A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2014.

[2] BOETTCHER S.Extremal optimization for ground states of the Sherrington-Kirkpatrick Spin Glasses with Levy bonds[J].PhysicsProcedia,2014,53:24.

[3] KOH C Y,KWEK C K.Entanglement of a 2-qubit system coupled to a bath of quantum Spin Glass[J].PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications,2014,403:54.

[4] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses,VolumeⅡ:AdvancedReplica-SymmetryandLowTemperature[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge.A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2011.

[5] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses:BasicExamples[M].Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3.Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics.Berlin:Springer,2010.

[6] TALAGRAND M.MeanFieldModelsforSpinGlasses:SomeObnoxiousProblems[M].Berlin:Springer,2007.

[7] TALAGRAND M.SpinGlasses:AChallengeforMathematicians,CavityandMeanFieldModels[M].Berlin:Springer,2003.

[8] BOLTHAUSE N,PEKINS E,VANDERVAART A.LecturesonProbabilityTheoryandStatistics[M].Berlin:Springer，2002.

(责任编辑 马宇鸿)

The Spin Glasses energy model based on the theory of white noise analysis

HAN Qi,CHENG Dan,WEI Ren-tong,HE Ming-zhen

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

A random Spin Glasses energy model is studied by using the theory of white noise analysis,and the Derrida limit theorem is also made an extension.Under the framework of white noise analysis,the limit theorem which based on exponential map is obtained and a stochastic model is presented.

Spin Glasses energy model;free energy;partition function;exponential functional

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.002

2015-07-13;修改稿收到日期:2015-10-21

国家自然科学基金资助项目(11061032，1261023-G0114)

韩琦(1978—),男,山东嘉祥人,副教授，博士.主要研究方向为随机分析及其应用.

E-mail:hanqi1978@nwnu.edu.cn

O 211.4

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0008-04