一节培养创新能力的数学课*

●邱友会 李德安

(曲靖市第一中学 云南曲靖 655000)



一节培养创新能力的数学课*

●邱友会 李德安

(曲靖市第一中学 云南曲靖 655000)

创新教育的理论及重要性无需质疑.数学课堂上，对学生创新能力的培养，在理论上已取得较大的进步，但在教学实践中却举步为坚.笔者就高中数学的教学，从实践中给出培养创新能力的一个实例，希望能对创新教育的实践起到一个抛砖引玉的作用.

探究;推广;创新

培养创新人才，形成创新型社会，要从学生抓起，从课堂开始.数学课在培养创新能力中，更多体现在知识概念的传授中，体现在一题多解与多题一解的探究中.其实，数学课堂更应该关注知识内在的联系，打开学生联想的思维.当前，高中数学课堂中，对学生创新能力培养的理论虽取得了很大进步，但在现实中却少有人实践，大多情形仍在应试教育的“怪圈”中转来转去.同时，多数教师认为，在高中数学教学实践中，要培养学生的创新能力是很难实现的.

事实上，执教者经过多年的教学实践认为，高中数学教学培养学生的创新能力是有条件的，土壤是成熟的，它是可能的.关键是教师要有意识地去培养学生的创新意识、创新精神，进而培养学生的创新能力.执教者有幸在曲靖市第一中学上了这样一节终生难忘的课，下面再现课堂实录及评析，供同仁参考.

1 课本习题解法研究

图1

问题 人教A版《数学(必修5)》习题3.4B组第2题：如图1所示，树顶A离水平视线a米，树上另有一点B离水平视线b米，在点C处看此树上的点A,B，离此树多远时视角最大？

师:哪位同学谈谈自己的解法(该问题课前已留作思考问题).

生1(举手)：我想到2种解法.

师:好！请简单地把解法展示给大家.

生1(通过投影仪)将2种解法展示如下：

解法1 (应用三角)设树与水平视线相交于点O,则

∠OCB=α, ∠OCA=β,

∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α.

设OC=x,则

于是

(1)

由已知a>b,x>0,故由式(1)知tanθ>0,θ为锐角，由基本不等式得

由三角函数知识得

故

解法2 (应用坐标)设树与水平视线的交点为O，以树所在的直线为y轴、OC所在直线为x轴建立直角坐标系，则由题意得A(0,a),B(0,b).不妨设C(x,0)(其中x>0)是x轴正向上的一点，则由线到线的角公式得

以下同解法1(略).

2 推广研究

图2

师:生1的解法非常好，既简单又清楚.下面再给大家提供一种解法.

解法3 (应用平面几何)如图2，作过点A,B且与射线OC相切的圆Q，切点设为M，射线OC上除点M外，其余点均在⊙Q外，故∠ACB的最大值为∠AMB.作QP⊥AB于点P，则

在Rt△BPQ中，

即

师:除此之外还可以用向量或应用余弦定理等方法求解，课堂上对解题的方法暂时不作探究，请感兴趣的同学课后继续研究.我们知道数学的解题方法是无止境的，只要你感兴趣，只要你肯研究，就一定还有方法.此问题能否推广，即能否推广为更具普遍性的结论.

评析 教师又给出了平面几何中的灵活解法，可以看出教师解题功底的深厚.但在此处又不过多探究解题方法，而是将继续探究放在课后，体现了课堂教学向课后的延续，也彰显着教师对课堂的掌控能力.此处虽有“点”可挖，但本节课的重点不在此.为突出本节课的探究重点，故将该“点”延续到课后.

生2：可以推广为地面上一点到墙上2个定点的最大视角.

生3：推广为2条互相垂直直线上，其中一条有2个定点，另一条上动点看2个定点的最大视角问题.

评析 教师的提问，引发学生对问题本质的思考及精练的概括.学生的回答趋于对问题的理解及再认识.

师:非常好！能否由此得出一个定理？

学生沉默，一片茫然……

师:什么是定理？

生(部分)：经过证明是真命题的都是定理.

师:是的！我们不要把定理看作是神秘不可触摸的东西，只要是经过证明的真命题都是定理，当你所得到的真命题有用时，它就是有价值的定理.本节课我们就来探究此习题得出的定理.

评析 教师的点拨，使严肃的定理变得生活化.很多时候，学生不敢探究，不敢得出新结论，就是出于内心的敬畏与恐惧，总是感觉定理很“神秘”.教师“蜻蜓点水式”的提问，使学生自然走上了探究之路.

图3

定理1 设直线l1⊥l2，垂足为点O，A,B∈l1，C∈l2，∠ACB=θ，|OA|=m，|OB|=n，m>n，A,B在l2的同一侧，则θ为锐角且

评析 教师规范语言，学生对问题的结论进行提炼，轻松得到定理1，此处的推广是一次自然提炼.

3 引申研究得出新定理

师:同学们看看我们提炼出的定理1满足的条件是什么？

生(齐声)：定理1满足的条件是有2条互相垂直的直线，其中一条直线在垂足的同一侧有2个定点，另一条直线上的点到这2个定点视角最大值问题.

师(追问)：中学数学哪一部分知识具备这样的条件呢？

生(齐声)：圆锥曲线——椭圆、双曲线(还有小部分声音说抛物线).

图4

师:我们先看看椭圆中有没有互相垂直的2条直线，其中一条上有2个定点，在另一条上看这2个定点的最大视角会怎样？

生4(举手)：有呀！对称轴上2个焦点、顶点等都满足您所说的条件.

师:好的！不妨设椭圆准线和y轴相交于点M(如图4)，A,B分别为椭圆的上、下顶点，P为准线上的点，则

将它们代入定理得

设∠APB=θ，则

sinθ≤e或θmax=arcsine，

如此美妙的结论，学生情绪纷纷高涨.

师(进一步启发激励)：同学们，圆锥曲线的一些特征线、特征点非常有利于作这样的探究.请同学们试试看！

在此,执教者本想试一试，目的是培养学生的创新精神和创新意识，然而学生竟然探究发现新的定理，这充分体现出学生的创新能力是不可小觑的.

评析 教师循循善诱的引导，将学生的探究点放在了圆锥曲线上.在圆锥曲线中，满足问题条件的载体较多，具备条件的特征点、特征线更多.教师从本人已掌握的结论，先得出椭圆中的一个优美结论，让学生惊喜与振奋.带着这份激动之情，教师还时间给学生，让学生自己动手实践，迎接挑战，感受乐趣.

4 学生探究发现新定理

学生经过一段时间的探究思考，竟然有学生发现新定理.

生5到黑板上演示了其发现的新定理.

证明 如图5,设θ=∠FQO，则

图5 图6

生6对定理3进一步抽象概括为一般性结论：2条互相垂直的直线，其中一条上的动点视另一直线上的定点与该点与垂足间的中点的视角为θ，则

……

评析 教师还时间给学生，学生还惊喜给教师.每位学生的视角不同、出发点不同，自然就有不同的发展探究之路.教学需要启发，创新需要顿悟.时间很宝贵，时间的分配很重要.学生在创新时，一定要有属于自己的探究之路.

5 课后评析

本节课执教者和学生都在创新的激情中分享新的东西，这使大家真正认识到：创新在中学数学中是现实的，中学生也具备创新能力.但在常规的课堂中，无论教师还是学生基本没有创新的意识，也没有创新的精神，更多的是忙于应试教育之中.这样教师和学生都缺乏创新精神和创新意识，一定程度上可以说培养创新能力没有良好的土壤，我们怎么能为社会培养符合时代需求的创新性人才呢？

1)本节课的问题是教材上的习题，从学生熟悉的问题出发，解决问题后，关键是结论的有效迁移，看到知识的内在联系.中学数学每一部分内容，都有相关的题目与相关的结论，看似杂乱无章，却联系紧密.课堂不仅仅是传授知识的场所，更是联系知识的平台.教师要经常给学生提供这样的平台.

2)一堂好课的标准是什么？标准很多，并不唯一，而且仁者见仁、智者见智.教育要促进学生的发展，一堂好课一定是适合学生发展的课.发展的核心在创新，创新就在身边，从课堂开始，从教师的钻研开始，从学生的实践开始.

3)词有词根，题亦有题根.应试教育重视题根的应用，素质教育重视题根的联系.为了在短时间内获得高分，应用、实用很重要，从而做题的数量很关键；为了真正地培养创新能力，联系、联想很重要，从而做题的质量很关键.教师要在应试环境下，做好素质教育，除了要有执着的精神，更要有一颗平静的心.在课堂教学中，教师不要急功近利，盯着提高学生分数不放，这样只能使教师的目光越来越短浅，学生的心胸也越来越狭窄.教师要树立如下正确的基本观念：①潜能开发观；②问题探究观；③学生主体观；④行为实践观；⑤个体差异观；⑥师生合作规；⑦生命发展观；⑧评价过程观.有着正确的观念，在遵循教育规律下，开展探究学习.那么，分数其实只是提升能力、拓展思维、培养创新的一个附属品.

4)认知的理论有行为主义理论、格式塔理论、皮亚杰理论、社会建构主义理论、信息加工理论等等.课堂教学的认知结构应建立在怎样的理论上？应该将知识的逻辑结构与学生心理认知发展的认知结构有机结合，而不局限在怎样的认知理论;帮助学生形成知识块，便于将知识存贮在记忆中，有效地加以利用，形成能力.正如美国教育心理学家布鲁纳所说：“获得的知识如果没有完美的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.”

�2015-10-26；

2015-11-13.

云南省曲靖市教育局、曲靖师范学院教育科学规划课题“高中数学课堂教学创新研究”(QJQSKT2015001).

邱友会(1967-)，男，云南马龙人，中学高级教师，研究方向：数学教学及数学课堂中的创新实践.

O124.1

A

1003-6407(2016)03-11-04