向量优化问题近似解的非线性标量化刻画

吴海琴

(重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331)



向量优化问题近似解的非线性标量化刻画

吴海琴

(重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331)

在co-radiant集的基础上提出了一类新的(C,ε)-(弱)有效解,讨论了这类解的一些性质.研究了向量优化问题中Kutateladze 定义的近似解与这类新(C,ε)-(弱)有效解的关系,用单调标量化方法得到了δq-近似解的充分条件.

近似解;(C,ε)-(弱)有效解; 非线性标量化

近几十年,近似解已成为向量优化问题中的研究热点,这主要源于3个方面：①优化模型通常是在对实际问题作出简化假设的基础上建立的;②在计算过程中,数值算法通常产生的是优化问题的近似解;③在非紧性条件下(弱)有效解一般不存在,而近似(弱)有效解在较弱的条件下有可能存在.故从计算和理论的角度,向量优化问题近似解的研究具有重要的意义.1979年,Kutaladze在文献[1]中首次提出了ε-有效解的概念.1984年,Loridan在文献[2]中引入了一般向量优化问题的近似有效解和拟近似有效解的概念.2006年,Gutierrez等在文献[3]中利用co-radiant集提出了向量优化问题的一种新的ε-有效解的概念-(C，ε)有效解,研究了其相关性质和标量化特征.2011年,Gao等[4]在基于Benson真有效解思想,利用co-radiant集提出了向量优化问题的一类近似真有效解(称为(C，ε)-真有效解),并给出了其线性标量化刻画.

近年来,诸多学者利用线性标量化方法研究各种近似解及其性质,两种常见的标量化函数和性质研究见文献[5-8].受文献[3-4，9-10]中研究工作的启发,本文研究了由Kutateladze定义的向量优化问题的近似解,给出了一类新的(C，ε)-有效解,讨论了这类解的一些性质,用单调标量化方法得到了这类近似解的充分条件.

1 预备知识

假设X和Y是两个实拓扑线性空间,集合C⊂Y,clC,intC分别表示K的拓扑闭包和拓扑内部.若C∩(-C)⊂{0},则称集合C是点的;若φ≠C≠Y,则集合C是真的;如果C满足对任意的d∈C,α>1,均有αd∈C,则C是一个co-radiant集.设C⊂Y是真的内部非空的co-radiant集.

考虑以下向量优化问题：

(VP)minf(x)

其中f:X→Y,S⊂X,且S≠φ.

引理 1[11]若C是一个真的点凸锥,则：

i) C(ε)是一个实的凸co-radiant集,∀ε>0.

ii) C(ε2)⊂C(ε1),∀ε1,ε2>0,ε1<ε2.

定义1[11]设ε≥0,称可行点x0∈S是(VP)问题关于C的ε-有效解(或称(C,ε)有效解),如果(f(x0)-C(ε))∩f(S)⊂{f(x0)},记作AE(f,C,ε).

定义2[11]设ε≥0,称可行点x0∈S是(VP)问题关于C的(C,ε)-弱有效解,如果(f(x0)-intC(ε))∩f(S)=φ,记作WAE(f,C,ε).

定义3[11]假设Y=R,C=R+，称x0是问题(1)的ε-近似解,如果:

记作Inf(f,S,ε).

2 主要结果

Gutierrez等在文献[5-8]中利用co-radiant集提出了向量优化问题的一种新的ε-有效解的概念-(C，ε)有效解,研究了其相关性质和标量化特征,本文在 (C，ε)-有效解的基础上给出了一类新的δq-有效解,并讨论其相关性质.

定义4 设q∈C，δ>0，称x0是(VP)问题的一个δq-有效解,如果:

记作AE(f,C,δq，ε).

定义5 设q∈C{0}，δ>0，称x0是(VP)问题的一个δq-弱有效解,如果:

记作WAE(f,C,δq，ε).

注1 若δ=0,则(VP)问题的δq-有效解就退化为(C,ε)有效解;δq-弱有效解退化为(C,ε)-弱有效解.

接下来,给出δq-有效解的几个性质及其证明,且定理中的所有δ>0.

定理1 1)AE(f,C,δq,0)⊂AE(f,C,δq,ε)，∀ε>0.

2)AE(f,C,δq,ε1)⊂AE(f,C,δq,ε2),∀ε1,ε2>0,ε1<ε2.

4)设(xn)⊂S,(εn)⊂R+,y∈Rp,使得xn∈AE(f,C,δq,εn),εn→0,f(xn)→y, 则f-1(y)∩S⊂WAE(f,S,C,δq,0).

证明 1)设ε>0,若x∈AE(f,C,δq,0),则:

从而x∈AE(f,C,δq,ε).

2)设ε1,ε2>0,ε1<ε2,若x∈AE(f,C,δq,ε1),则由引理1的(2)知C(ε2)⊂C(ε1),从而有：(f(x)-δq-C(ε2))∩f(S)⊂(f(x)-δq-C(ε1))∩f(S)⊂{f(x)},故x∈AE(f,C,δq,ε).

又由εn→0和引理1的条件(2)知,存在n1>n0,使得:

又因为xn∈AE(f,C,δq,εn),则∀n>n1,有f(z)=f(xn),从而取极限,有f(z)=y=f(x),因此(f(x)-δq-int(C)(0))∩f(S)=φ,故x∈WAE(f,C,δq,ε).

考虑下面标量化问题:

其中φ：Y→R.

为了得到标量化有效解的充分条件，给出下面单调函数.

定义6[12-13]考虑φ：Y→R且y0∈Y，

1)若y0-y∈D⟹φ(y)≤φ(y0),则φ在y0处单调.

2)y0-y∈D{0}⟹φ(y)<φ(y0),则φ在y0处强单调.

3)y0-y∈intD⟹φ(y)<φ(y0),则φ在y0处严格单调.

下面的定理给出了在弱的调价下,近似解的单调标量化是向量优化中(VP)问题的δq-有效解.

定理2 考虑α≥0，q∈C{0},设x0∈Inf(φ°f,S,α).

1)若δ>0,φ在f(x0)-δq处单调,且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)>α,则x0∈AE(f,C,ε,δq).

2)若δ>0,φ在f(x0)-δq处强单调,且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≥α,则x0∈AE(f,C,ε,δq).

3)若δ>0,φ在f(x0)-δq处严格单调,且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≥α,则x0∈AE(f,C,ε,δq).

证明 1)假设x0∉AE(f,C,ε,δq),则存在x∈S,d∈C{0},使f(x)=f(x0)-δq-εd),由φ在f(x0)-δq处单调,f(x)∈f(x0)-δq-C(ε),则φ(f(x))≤φ(f(x0)-δq),因为x0∈Inf(φ°f,S,α)，x∈S,所以有φ(f(x0))-α≤φ(f(x)).从而φ(f(x0))-α≤φ(f(x0)-δq),因此φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≤α.矛盾,故x0∈AE(f,C,ε,δq).

结论2)和结论3)的证明与结论1)类似,故略.

注2 若定理2中q∈intC(ε),则x0∈WAE(f,C,ε,δq).其证明与定理2类似,故略.

[1]KUTATELADZESS.Convexε-programming[J].SovietMathematicsDoklady,1979,20(2):390-393.

[2] LORIDAN P.ε-solutions in vector minimization problems[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1984,43:265-276.

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[11] GUTIERREZ C,JIMENEZ B,NOVO V.On approximate efficiency in multiobjective programming[J].Mathematical Methods of Operational Research,2006,64(1):165-185.

[12] LUC D T.Theory of vector optimization[M].Lect Notes in Econ Mathem Syst,vol 319，Berlin:Springer-Verlag,1989.

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责任编辑：时 凌

Approximate Solution in Vector Optimization Problems via Nonlinear Scalar Characterization

WU Haiqin

(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

The paper proposed a new class of (C,ε)-(weak) efficient solution basis on co-radiant set and discussed,some properties of these solutions.This paper is to study relations between the approximate solutions in vector optimization problems,defined by Kutateladze and the new (weak) effective solutions,and theδq-(weak)effective solutions′s sufficient condition is obtained by monotonous scalarization means.

approximate solution;(C,ε)-(weak) efficient solution;non-linear scalarization

2016-08-16.

国家自然科学基金项目(11301574,11271391).

吴海琴(1991-),女,硕士生,主要从事向量优化理论的研究.

1008-8423(2016)03-0288-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.011

O224

A