随机变系数混料试验模型的V-最优设计

张小峰，张崇岐

（广州大学a.数学与信息科学学院；b.经济与统计学院，广东 广州 510006）

随机变系数混料试验模型的V-最优设计

张小峰a，张崇岐b*

（广州大学a.数学与信息科学学院；b.经济与统计学院，广东 广州 510006）

将随机变系数的混料模型转化为混合效应模型，从而可以得到固定效应的信息矩阵及其逆矩阵，同时证明如果一个设计在固定效应部分是V-最优，则这个设计在整个模型也是V-最优.给出在V-最优准则下的一阶q分量和二阶2分量随机变系数混料模型的V-最优设计.

混料试验设计；混合效应模型；随机系数回归模型

0 引 言

混料试验设计是最近几十年发展的一门新的学科，它广泛应用于食品制造、生物制药及农业上.混料试验设计不同于其他试验设计，对于一个q分量的回归响应值不依赖于在混料中总数的多少，而是仅仅与每个分量所占的比例有关.在一个（q-1）维单纯形利益区间内必须满足：

q阶SCHEFFE线性模型为

SCHEFFE提出了多重线性模型［1-2］、单纯形格子设计、单纯形中心设计和其他相关的多项式模型，最优准则也陆续应用到混料试验设计［3-4］，见图1～3.

图1 一阶3分量D-最优设计点Fig.1 First-order 3 vaviables of D-optimal design point

图2 二阶3分量D-最优设计点Fig.2 Second-order 3 vaviables of D-optimal design point

LAAKE提出了V-最优准则［5］，积分方差必须达到最小，同时LAAKE详细地讨论SCHEFFE模型二阶和三阶V-最优，并得到最优配置比.LIU等用矩阵分块法得到q阶q分量的SCHEFFE模型V-最优［6］.最近几年内，随机变系数回归模型在试验设计领域内得到了广泛的应用，但在混料试验设计的方向还处于起步阶段［7-9］，蒋琼首次讨论了混料试验设计的随机变系数回归模型的V-最优［10］，但是只给出一阶2分量及3分量的最优配置.对于一个一般的多元线性回归模型：

图3 三阶3分量D-最优设计点Fig.3 Third-order 3 vaviables of D-optimal design point

其中f′（x）＝（x1，x2，…，xq，x1x2，…），β是未知参数，β＝（β1，β2，…，βq）′.

根据V-最优准则：min（W），V-最优等价定理［11］如下：

随机系数回归模型是为了表示未知参数在某个区域上发生变化的特征提出来的，在农业、生物医学等科学研究中有着非常广泛的应用.随机变系数回归模型为

n表示试验次数，yi是试验单元上的向量，Xi是ni×p设计矩阵，βi是p×1随机系数向量，βi～N（bi，D），bi为未知带估参数向量；εi为ni×1随机误差向量εi～N（0，Ri），其中bi和εi互不相关，D和Ri分别为正定的p×p和ni×ni已知矩阵，则有

1 随机系数混料回归模型向混合效应模型的转换

在混料试验中一阶q变量随机系数模型为

其中xiJ表示第i次试验，第J个分量的值.

随机变系数模型（2）可以表示为

其中Xb是固定效应，Xb*是随机效应，可以得到b*的期望与协方差阵，分别是：

为了便于讨论，又不失一般性，设σ2＝1，设一个一般的设计形式如下：

其中ωi是第i个设计点的测度，而且满足由式（4）可以得到模型（3）的信息矩阵

对于混料试验二阶2变量随机系数模型为

2 V-最优设计

该引理的证明［12］.

证明 对于随机变系数回归模型信息矩阵的逆可以表示为M-1＝M0-1+D，根据V-最优准则有：

定理2

是模型（1）的V-最优设计.

证明 在这里的证明分两步，首先求出V-最优配置，再证明该配置在整个单纯性利益区域内是最优的.

先求最优配置，根据引理1得到：

由Lagrange乘子法得到：

再证明该配置在整个单纯性利益区域内是最优的，运用V-最优等价定理：

定理3

是模型（5）的V-最优设计.

证明 对于模型（5）的固定效应部分是中心设计，因此同一类点的测度是相同的，可以得到固定效应部分的信息矩阵的逆：

等价定理（1），因此根据定理1可得到式（7）是模型（5）的V-最优设计.

3 结束语

将随机变系数混料模型转换成混合效应模型，证明了只要一个设计在固定效应部分V-最优，则这个设计在整个随机变系数混料模型也是V-最优.同时得出一阶q分量和二阶2分量随机变系数混料模型的V-最优设计.在未来的研究中可以探讨二阶q分量，三阶以及q阶随机变系数混料模型的V-最优设计，同样的也可以研究随机变系数混料模型的D-最优，A-最优，G-最优，E-最优.

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V-optimal designs for m ixture experiment model w ith random coefficients

ZHANG Xiao-fenga，ZHANG Chong-qib
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.School of Economics and Statistics，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

This paper studies mixture model with random coefficients that can be transformed into a mixed effects model.We obtain the information matrix and its inverse matrix of fixed effects.We prove that mixture design is V-optimal in the whole model if it is V-optimal in the fixed effect part.The V-optimal designs for firstorder q components and second-order two components'mixture model with random variable coefficients are given.

mixture experimental design；mixed-effects models；random coefficient regression models

O 212.6

A

1671-4229（2016）01-0027-05

【责任编辑：周 全】

2015-05-18；

2015-11-10

国家自然科学基金资助项目（11271094）

张小峰（1989-），男，硕士研究生.E-mail：978584115＠qq.com

*通信作者.E-mail：cqzhang＠gzhu.edu.cn